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J'en suis à la question 4, mais j'ai besoin d'aide pour l'explication (j'ai une petite idée de la réponse, mais rien de sûr).

1) Pour l'équation du plan, j'ai trouvé "x + y + z = 0" : on en déduit que la dimension du plan est de 2 (waouh !!).

2) Pour la seconde question, on se sert du théorème du rang et de la trace de la matrice de f, appelée A. En effet, la trace (tr(A) = 4) égale la somme des valeurs propres, chacune multipliée par son degré de multiplicité.
Grâce à la question 1, on a déjà explicité la matrice "A - Identité", et on a trouvé que le noyau était de dimension 2 : 1 est valeur propre, de multiplicité 2.

On a donc :
4 = 2*1 + Dm*vp (a.k.a "degré de multiplicité" et "valeur propre")

On est dans un espace de dimension 3, donc :
Dm + 2 = 3
⇔ Dm = 1

D'après ce qui précède : vp = 2.
On trouve donc que 2 est valeur propre simple, et :
dim(E) = 3 = 1 + 2 = dim(D) + dim(P)
D'où : dim(D∩P) = 0.

P et D sont donc supplémentaires dans E.

3) Ça me parait un peu simple, mais je ne vois pas quoi dire d'autre que : dim(D∩P) = 0, donc l'intersection des deux sous-espaces affines se limite à un point.

4) Là, je sèche.

Pour la 3), l'intersection des deux sous-espaces affines D et P est soit vide, soit un sous-espace affine dirigé par le sous-espace vectoriel D inter P.
Le fait que ça soit non vide est assuré par le fait que E = D+P.
Le fait que ça soit un singleton est assuré par le fait que cette somme soit directe.

Pour la question 4 :

On appelle A l'unique intersection entre D(ronde) et P(ronde) (si on se donne D(ronde) on peut calculer A).
Soit M un point de D(ronde). Alors il existe un unique vecteur u dans D tel que M = A + u.
f(M) = f(A) + f(flèche)(u) = A + 2u (car A appartient à P(ronde) et u appartient à D).

Je sais pas si c'est exactement ce qui est attendu mais c'est déjà ça.