Salut je n'ai pas très bien compris la notion de fonction continue car les définitions des profs et des bouquins sont trop formelles, et exemptes d'exemples.

D'après ce que j'ai compris il s'agit d'une fonction qui n'a pas de point ou d’intervalle de discontinuité, et qui est donc définie sur ]-OO;+OO[

Par exemple la fonction x² serait continue, mais pas les fonctions 1/x ou x^1/2 car la première n'est pas définie pour x=0 et la seconde n'est pas définie pour x<0

Est ce bien cela ? merci

Pour tout x réel bien entendu.

Exact, il faut toujours préciser l'intervall lorsque tu abordes la notion de continuité

intervalle*

"D'après ce que j'ai compris il s'agit d'une fonction qui n'a pas de point ou d’intervalle de discontinuité, et qui est donc définie sur ]-OO;+OO[ "

Non, une fonction peut être définie sur R tout entier sans y être continue. Une fonction peut même être définie sur R et continue en aucun point.

Ok merci mais en précisant l'intervalle il s'agit donc bien de ça:

la fonction ne doit pas avoir de point ou d'intervalle de discontinuité ?

il n'y a pas d'autre condition ou de règle ?

en gros une fonction continue est une fonction que tu peux tracer "sans lever le crayon", ou encore, comme tu as dit, qu'il n'y a pas de points de discontinuité.

Et effectivement on parle toujours de fonction continue sur tel ou tel intervalle, comme l'exemple cité plus haut : f(x)=1/x , on est obligé de "lever le crayon" en 0 si on veut la tracer entièrement, car forcément elle est pas définie en 0.

Une fonction qui n'est pas définie en un point n'y est même pas continue (ça paraît évident mais c'est bon de le rappeler)

prauron tu me mets en doute là ...

Pourquoi ?

d'après ce que tu as dit, j'ai cru que j'avais dit un truc faux.

le fait qu'une fonction non définie en un point ne peut pas y être continue.

On peut avoir une fonction continue en un point qui n'est pas dans l'ensemble de définition, à condition qu'il soit au moins aux bords, par exemple la fonction x->x² sur ]0;1] est continue en 0 (bon c'est une continuité à droite mais c'est pareil). Alors généralement on prolonge la fonction par continuité

Ah non ce que j'ai dit ne contredit pas ce que tu as dit.

Une fonction est continue en un point si elle admet une limite en ce point (et donc que cette limite est égale à sa valeur en ce point).

C'est à dire que ta fonction est continue en un point a si quand x se rapproche de a, f(x) se rapproche forcément de f(a).

Par exemple, tu prends l'exemple de la fonction carrée. Elle est continue, par exemple, en 1 parce que si x est très proche de 1, x² est aussi très proche de 1.

En revanche, la fonction partie entière n'est pas continue en 1 parce que si x est très proche de 1, partie entière de x peut ne pas être très proche de 1 (partie entière de 0.99999 = 0).

Ça c'est la continuité en un point. Après, la fonction est continue sur un ensemble si elle est continue en tous les points de l'ensemble, mais la continuité est, au départ, une propriété locale. Sur un point, pas sur un ensemble.

Tu veux un exemple, la courbe représentative d'une fonction continue peut être tracer sans lever le crayon, si tu dois lever le crayon elle n'est pas continue sur l'intervalle sur lequel tu as tracé ta fonction.

En d'autres termes, la fonction est continue en un point A ssi la fonction a la même limite à gauche et à droite (très important) au point A.
Une fonction est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point appartenant à l'intervalle I.

C'est ce que tu dois retenir des défs si tu veux pas les apprendre.

Limite à gauche et à droite très importante, si tu la fais que d'un côté sans faire attention ton résultat peut être faux.

Cette erreur est souvent faite pour les élèves qui apprennent la notion et à qui on demande d'étudier la continuité de la fonction partie entière en n avec n, un entier relatif.