salut à tous,

s'il y a des doués en proba, je veux bien des pistes pour l'exo suivant :

Un pion part de 0 sur la droite des entiers naturels et avance selon le résultat d'un lancé de dé équilibré à 6 faces, processus répété à l'infini.

Si P(n) désigne la probabilité que le pion s'arrête à un moment sur l'entier n, vers quoi converge P(n) pour n -> + l'infini

je n'ai aucune idée du résultat qui selon mon prof est intuitif...

Intuitivement, si on découpe N en tranches de longueur 6, chaque entier dans chaque tranche devrait se voir attribuer la même probabilité, le dé étant équilibré.

Si on se demande "comment le pion a-t-il pu arriver en N ?", la réponse est bien sûr "il a sauté d'un entier plus petit". Lequel ? Selon le résultat du dé au dernier lancer, ça peut être n-1,...,n-6, mais rien d'autre. D'où l'on tire la relation :

P(n) = P(n|n-1)*P(n-1) + ... + P(n|n-6)*P(6).

Or, les P(n|n-i) sont exactement les probas de tirer i au dé et valent toutes 1/6 par hypothèse. Comme on part de 0, on a de plus les conditions initiales P(1) = ... = P(6) = 1/6. On vérifie sans problème que P(n) = 1/6 vérifie cette relation de récurrence, ce qui mène au résultat plus fort, quoique raisonnable : la proba vaut constamment 1/6, pas seulement asymptotiquement.

"on a de plus les conditions initiales P(1) = ... = P(6) = 1/6"

je suis pas d'accord là dessus, par exemple P(2)=2/36=1/18

moi j'aurais l'intuition de dire 1/3,5 ...

parce que le pion avance en moyenne de 3,5 ...

Amandin ton calcul est faux pour P(2).

P(2) = P(arriver sur 2 au premier lancé) + P(arriver sur 2 au deuxième lancé) + P(arriver 2 au troisième lancé) + ...

donc P(2)=1/6 + 1/36 = 7/36

(c'est 1/6 + 1/36 + 0 + 0 + .... si jamais)

Ah oui, en effet.

Bon, quelqu'un pour calculer les premiers termes ?

Et comme l'a remarqué Neji, la minoration des premiers termes implique une minoration de P(n) pour tout n, donc on a automatiquement P(n) >+ 1/6 pour tout n.

Donc 1/3,5 convient, CQFD

Moi je suis perdu j'ai jamais d'intuition en proba et je comprends jamais rien.

Bon j'ai compris le calcul de P(2) de tello mais ça nous avance pas parce que je ne vois pas comment on pourrait exprimer facilement P(arriver sur n après k lancés) facilement vu toutes les combinaisons qui se créent dès qu'on va sur des nombres très grands

intuitivement je dirais 1, mais j'ai pas envie d'essayer de le prouver (la façon dont je vois la chose ça va donner du calcul moche)...

Simplement, plus n est grand, plus on a de possibilités pour y arriver, et ça me surprendrait pas qu'en sommant toutes les possibilités on tombe sur 1.

Moi pour le coup 1 ça me paraît clairement contre-intuitif, le pion va pas passer presque sûrement par toutes les cases, c'est contradictoire avec le fait qu'il avance de 3,5 cases en moyenne.

si tu considères un marche aléatoire tout bête sur Z (on part de 0, à chaque tour on avance ou on recule de 1 avec équiprobabilité), on avance en moyenne de 0; et pourtant la probabilité de d'être passé par un entier donné quand le nombre de coups tend vers l'infini est de 1, aussi grand (en valeur absolue) que soit cet entier.

le problème ici n'est pas le même mais je veux juste dire que pour moi (je ne sais pas ce qui est intuitif pour quelqu'un d'autre que moi...), le raisonnement avec l'avancement moyen ne me parait pas plus intuitif

C'est pas le fait que 3,5 soit différent de 1 qui est contradictoire mais le fait que 3,5 soit > 1.

dans ta marche aléatoire l'avancée moyenne est nulle mais ça n'empêche pas d'avancer et donc c'est pas contradictoire avec le fait d'atteindre tous les entiers à un moment donnée.

dans le problème du topic c'est contradictoire d'avancer en moyenne de 3,5 cases et pour autant atteindre presque sûrement toutes les cases 1 à 1 au bout d'un moment.

Amandin La formule de récurrence semble tenir bon, maintenant il faut "seulement" calculer les 6 probas initiales.

P(1) = 1/6, ça c'est donné
P(2) = 7/36, Tello l'a fait
P(3) = 1/6 + 2/36 + 1/216 (en deux coups, on a deux possibilités)
P(4) = 1/6 + 2/36 + 3/216 + 1/1296
P(5) = 1/6 + 2/36 + 6/216 + 4/1296 + 1/7776
P(6) = 1/6 + 5/36 + 10/216 + 10/1296 + 5/7776 + 1/46656

La relation de récurrence étant une combinaison convexe des 6 termes précédents P(n), on peut déjà affirmer que la suite reste entre P(1) et P(6), qui sont visiblement les valeurs extrémales.

J'espère ne pas avoir dit trop d'âneries.

Tu comptes plusieurs fois le même événement dans la relation de récurrence j'ai l'impression. Genre si tu fais (n-6)->(n-3)->n, tu auras compte cet événement à la fois dans le terme P(n|n-6)P(6) et dans le terme P(n|n-3)P(3).

Non ?

P(n-6) et P(n-3) évidemment *

Pour un dé à 2 faces :

La relation de récurrence est P(n+2)=1/2(P(n+1)+P(n))

l'étude classique donne P(n)=a(-1/2)^n + b

avec P(0)=1 et P(1)=1/2 on obtient a=1/3 et b=2/3 et P(n) converge vers 2/3, qui est bien 1/(avancement moyen)

Et merde, t'as raison Morph, j'confonds proba de tomber dessus avec proba de tomber dessus à un rang précis.

Du coup la relation est en fait plus compliquée, à l'image de la tronche de P(1)...P(6).

Fait chier.

Hachino la relation est pas plus compliquée : Moi je trouve qu'on a P(n)= somme des 1/6 * P(n-k) avec k variant de 1 à 6