Salut tout le monde!
Voilà j'aimerai un petit coup de pouce pour cet exo:
Soit p(x) un polynôme tel que pour tout x, p(x)>=0
Montre que p(x)=q(x)^2 + r(x)^2

Donc j'ai essaye de rassembler des hypothèse avec les donne et j'ai en gros
P est de degré paire
P a sont coef directeur positif
Si p admet des racine réels se sont des racine double

Mais avec tout ca j'arrive pas a exprimer p comme la somme de deux autre polynôme au carre

Merci d'avance!

Excuse moi, mais c'est quoi le coefficient directeur d'un polynome ? Ca s'appellerait pas plutot coefficient dominant ?

Excuse moi, mais c'est quoi le coefficient directeur d'un polynome ? Ca s'appellerait pas plutot coefficient dominant ?

Oui coef dominant j'ai fais un abus de language

Ecrit comme tel ton exo n'a pas de sens, p et q ne sont pas fixés. Il ne s'agirait-il pas plutôt de trouver 2 polynômes q et r tel que p=q²+r² ? Si oui, écrire le polynôme sous forme d'une somme devrait aider.

indice : un tel polynome s'écrit sous la forme (x-a1)^2n1...(x-ap)^2np(x² + b1x + c1)....(x²+bq.x + cq)

Si tu montres que le résultat s'applique pour chacun des facteurs alors tu auras montré le résultat.

En effet si A et B s'écrivent A = a²+a'² et B = b²+b'² alors AB s'écrit sous la forme (ab - a'b')² + (ab' + a'b)² (à vérifier)

Alphacie
Pour les monôme ils sont au carre si la racine est réel mais que se passe t il si la racine est complexe? Elle est pas forcément double elle

Et les précision c'est soit p dans R et q et r dans R

Sinon merci j'ai plis compris le truc, mais juste pourquoi un polynôme de degre 2 s'écrit de la forme de somme de deux polynôme au carre?

forme canonique

Ah ba oui je suis Con
Du coup il ya les racine réel de la forme d' un polynôme de degré 1 au carre
Le reste sont des racine complexe, mais regroupe entre conjuguer ça forme un polynôme de degré 2 lui aussi factorisable en polynôme au carre
C'est bien ca ?
Et au final ça donne le résultat voulu (avec plis d' explication sur la fin pour expliquer le pourquoi)