Salut, on a commencé les exos de trigonalisation, et je rencontre un exemple assez problématique

La matrice est la suivante M

(3,0,8
(3,-1,6)
(-2,0,-5)

Le polynome caractéristique est -(X+1)^3 aucun doute la dessus, -1 est valeur propre triple. M n'est pas diagonalisable.

De ce que je sais, il va falloir chercher les vecteurs propres dans Ker(M+I) (-1 étant valeur propre) et dans les itérations de Ker(M+I) telle que Ker(M+I)^2...

Donc ok pas de souci, je trouve le vecteur (-2,0,1) dans ker(M+I). ce qui veut dire que je devrai avoir les deux restants dans les itérations de Ker.
Le souci c'est que ker(M+I)² c'est la matrice nulle... Donc ok c'est l'indice de nilpotence de mon endomorphisme, mais maintenant je fais quoi ? comment obtenir mes deux autres vecteurs ?

En fait avec mon cours je crois que je peux avoir une tête approximative de T ma matrice triangulaire

(-1,a,b)
(0,-1,c)
(0,0,-1) avec a,b,c des constantes donc, de plus il me semble que a et c valent 1 (le cours toujours, matrice de jordan...)

D'ou

(-1,1,b)
(0,-1,1)
(0,0,-1)

Maintenant ce que je sais grâce à cette matrice c'est que M(e2) = e1-e2
d'où (M+I)(e2) = e1 donc je peux résoudre mon système car je connais e1 (2,0,-1)

je trouve (-9/7,0,1) pour e2 ... déjà ça sent le truc foireux.
et j'ai M(e3) = be1+e2-e3 (M+I)(e3)=be1+e2
Donc bon je résous, mais je dois prendre "arbitrairement" une valeur pour b. et avec le vecteur propre obtenu, la matrice de mes vecteurs propres est bizarre ... (en prenant b=1 j'ai e3 =(-28/29,0,1))
évidemment j'ai des 0 sur toute la second ligne car y n'apparaît jamais donc ma matrice n'est pas inversible, donc ça marche pas.

De l'aide ?

Putain ce pavé. Heureusement que j'ai esquivé sinon je me le prenais en pleine tronche.

Sinon tu peux poser b=0 en fait (Jordan te dit qu'il existe une base de trigonalisation avec une diagonale de -1 et une surdiagonale de 1, même si c'est un peu du cheat), et du coup t'as deux vecteurs à trouver, tu dois pouvoir t'en sortir avec un système manouche

Ouais je savais que mon pavé allait être violent, mais jvoulais pas faire le mec qui quémande toute la solution, je sais un minimum de choses quoi

Mais, en prenant b=0 au final ça va rien changer, mes trois vecteurs auront toujours une deuxième coordonnée nulle, et du coup la matrice de ces vecteurs est non inversible... Donc ya un truc qui fonctionne pas non ?

Non mais en fait je suis con, au pire si t'as trouvé ton e2 tu t'en branles du 3ème vecteur, tu t'arranges juste pour compléter les 2 autres en une base et basta.

Hum. Ok donc j'ai juste a former une base avec ce troisième vecteur, disons donc P

(-2,-9/7,0)
(0,0,1)
(1,1,0)

Bon ça me fait une base, mais quand je vérifie en faisant P*T*P^-1 je ne retombe pas sur ma matrice de base ... (ni avec P^(-1)*T*P en fait ...)

Tu t'es gourré dans tes calculs alors... déjà tu dis e1=(-2,0,1) et quelques lignes après e1=(2,0,1). Après c'est peut-être une faute de recopiage
Mais bref, relis-toi jusqu'à avoir juste

En effet ya bien une erreur. (-2,0,1) ça, ça marche mais le second non.

Je dois résoudre (M+I)(e2) = e1 c'est pas putain de bien dur bordel.

{6X +8z=0
{3X +6z=0
{-2X -5z=0 en sommant tout j'obtiens e2 (-9/7,0,1) mais en vérifiant, ce n'est pas le bon vecteur. comment ça se fait ?? je dois faire une bourde de cinglé sans la voir, mais là je vois vraiment pas. pour moi ça donne x = -9/7z ; y = 0 et z = z...