Salut,

Aujourd'hui en maths on a fait un cours sur les applications bijectives (c'est la première fois qu'on entendait parler des termes "bijection" et "application") et on a défini une application comme une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier (appelé ensemble de départ ou source) est relié à un unique élément de l'ensemble d'arrivé.

Je comprends pas la différence entre ça et une fonction

on a défini une application comme une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier (appelé ensemble de départ ou source) est relié à un unique élément de l'ensemble d'arrivé.

Non ça c'est la définition d'une application bijective.

Ah?

On a écrit qu'une application est bijective si en plus de cette définition chaque élément de l'ensemble d'arrivée n'a qu'un antécédent dans celui de départ.

Pour certaines personnes, une fonction est plus générale qu'une application dans le sens où il se peut que certains éléments de l'ensemble de départ n'aient pas d'image.
Exemple la fonction R -> R, x -> sqrt(x), qui n'est alors pas une application.

Pour d'autres personnes, dont je fais partie, ces 2 termes sont synonymes (et donc on se restreint toujours à un ensemble où la fonction/application est bien définie).

Tout élément de l'ensemble de départ possède une unique image dans l'ensemble d'arrivée est bien la définition d'une application. C'est vrai que le terme "relié" est un peu vague.

Non Sagohr, c'est bien une application. Si tu relis la déf, elle dit qu'un élément a une et une seule image, pas qu'un élément à l'arrivée a un et un seul antécédent.

Formellement, la diff entre une fonction et une application est très minime (une fonction est en théorie autorisée a ne pas donne d'image à certains points, stle la fonction inverse).

Dans la pratique, il n'y en a aucune, à part qu'on réserve "fonction" au cas d'une ou plusieurs variables complexes, par habitude. Bref, osef complet si tu veux, c't'un détail mineur.

Exemple la fonction R -> R, x -> sqrt(x)

Donc on peut prendre I comme ensemble de départ même si la fonction est pas définie sur tout l'intervalle, et c'est à ce moment que ce serait pas une application ?
Et du coup R->R*, x -> sqrt(x) et R->R, x -> sqrt(x) sont des fonctions différentes ?

Merci pour vos réponses

S'il y a des éléments de l'ensemble de départ qui n'ont pas d'image dans l'ensemble d'arrivée, alors c'est pas une application.

"Et du coup R->R*, x -> sqrt(x) et R->R, x -> sqrt(x) sont des fonctions différentes ?"

Oui, la 2ème n'étant pas définie en 0...

d'accord, merci