Hello,

J'ai un petit soucis concernant un exercice de maths, sur les espaces vectoriels. Voici l’énoncé:

On se place dans le plan vectoriel R², muni de la base canonique B. Soient les vecteurs u (2,1) et v (-1,3). On note U = vect(u) et V = vect(v).

1) Montrer que U et V sont supplémentaires dans R².
2) On pose B' = (u,v) base de R². Déterminer les matrices de passage de B vers B' et de B' vers B.
3) Soit s la symétrie par rapport à U parallèlement à V. Donner la matrice de s dans la base B'.
4) Déterminer la matrice de s dans la base B.
5) En déduire l'expression analytique de la symétrie par rapport à U parallèlement à V.

Voilà, je bloque à la question 3. Je sais par rapport à mon cours que la symétrie correspond à Xf-Xg, mais comment la mettre sous forme de matrice ? Et sous la forme de la matrice B' ?

Un grand merci si une âme charitable peut m'aider

Pour un endomorphisme (comme ta symétrie) dans un espace vectoriel E de dimension finie ayant pour base B (e1,e2,e3,...,en) notée f(x)
La matrice de cette application dans dans la base B est
M=( f(e1) f(e2) f(e3) .... f(en) )
Avec f(ei) l'image par l'application du vecteur ei avec i qui appartiennent à [[1,n]].

Je sais bien, mais f(ei) correspond à quoi ?
C'est ce qui me bloque, je sais pas comment le calculer...

Ne dis pas que tu sais si tu ne sais pas.

Et bien les vecteurs de ta base B'. Là, c'est u et v.
Tu calcules l'image de u et v par ta symétrie et tu écris le résultat dans la base (u,v).
l'intérêt d'avoir pris u et v comme vecteurs de la base, c'est que la matrice que tu obtiens est diagonale.

Donc là, ta matrice c'est
M=(s(u) s(v))

Merci