salut

j'ai un problème pour interpréter la continuité du plan :

dans un exercice on me parle d'une application continue du cercle sur la droite réelle.

comment imaginer l'effet d'une telle application? Comment transformer continûment un cercle pour en faire une droite??

Pour le coup c'est pas possible (enfin je considère que "sur" implique que la fonction est surjective) car un cercle est compact et la droite réelle ne l'est pas.

Sauf si tu rajoutes un point à l'infini.

non il n'y a pas de surjectivité, c'est moi qui ai mis le "sur" l'énoncé décrit symboliquement l'application ( f : C gothique -> R )

Justement c'est le contraire l'exercice est de montrer qu'il y a nécessairement deux points diamétralement opposés qui ont la même image.

mais comme j'arrive pas à me représenter l'application j'ai du mal à démarrer l'exo

Ah ben tu peux par exemple considérer que l'application va "aplatir" ton cercle sur un segment (l'application partie réelle est un exemple).

En fait ça vient de faire tilt :

Pour déformer le cercle en une droite, on le "pince" en deux points justement diamétralement opposés et on tire infiniment l'un et l'autre dans un sens opposés jusqu'à ce que le cercle devienne une droite.

du coup on voit bien que si on fait ça ya deux points eux aussi diamétralement opposés qui vont venir se coller l'un à l'autre, les deux points dont la droite forment une perpendiculaire avec l'axe d'étirement.

bon par contre faut formaliser ça mathématiquement...

Ca se torche facilement en deux lignes donc ne t'embarque pas dans des trucs compliqués

En fait ça me sert à rien d'avoir vu ce que ça fait géométriquement, je pense avoir trouvé une preuve formelle facile qui fonctionne :

On identifie le cercle à une partie de C² avec des points de la forme exp(i.t) avec t dans R. Un point diamétralement opposé à exp(i.t) est exp(i(t+pi))

alors on pose t->f(exp(i.t))-f(exp(i(t+pi))), elle prend des valeurs opposées en 0 et pi donc elle s'annule et c'est fini.

Par contre je vois ton message avec partie réelle je ne comprends pas où tu voulais en venir morphisme

Tu disais que tu avais du mal à visualiser une telle application donc je te donnais juste un exemple

ah ok effectivement la partie réelle c'est continue du cercle dans R.

jpense voir comment fonctionne cette fonction, en gros on trace un diamètre et on projette les points du cercle sur ce diamètre, c'est ça?

C'est pas forcément un diamètre, et la fonction n'est pas forcément injective.
Je vois plus ça comme le fait de considérer ton cercle comme une ficelle, choisir deux points dessus que tu vas envoyer sur l'extrémité de ton segment d'arrivée, puis tu "replies" le reste de ta ficelle dans ton segment

injective sur un "demi-cercle" *

Ok c'est pas facile à imager mais je comprends le principe.

en fait oui je me rends compte que l'exo parle pas du tout de surjectivité mais de non injectivité.