Bonsoir, j'ai une petite question.
J'ai cette matrice :
8 -1 -1
5 2 -1
12 -3 1

Je trouve ce polynome caracteristique : (3-x)(x-4)^2
Donc les valeurs propres sont 3 et 4.
Comme vecteurs propres, je trouve (1, 2, 3) pour x=3 et (1, 1, 3) pour x=4.
Je voudrais savoir, pour faire la matrice de passage, je dois mettre 2 fois le même vecteurs propres lorsque il y a 2 solution identique dans le polynome caracteristique. Si oui, j'obtiens cette matrice de passage ?
1 1 1
2 1 1
3 3 3
Merci

Si le sous-espace propre associé à 4 n'est pas de dimension 2, ta matrice n'est pas diagonalisable.

Ta matrice de passage ça pourrait de toute façon pas être ça, cette matrice n'est pas inversible.

Ok. Donc si j'ai bien compris, pour que cette matrice soit diagonalisable, il faudrait que pour la valeur 4, il aurait fallu que je trouve V=x(u1)+y(u2) avec u1 et u2 deux vecteurs ?

Et une deuxième question, si le determinant est nul, alors la matrice n'est pas inversible ?
Merci

Pour que la matrice soit diagonalisable, il aurait fallu qu'en résolvant le système AX = 4X tu aboutisses à une seule équation, de la forme ax+by+cz = 0, qui est l'équation d'un plan, donc de dimension 2.
Là on aboutit au système {z = 4x-y, x = y}, qui décrit un espace de dimension 1.

Plus généralement une matrice est diagonalisable si et seulement si la dimension de chaque sous-espace propre est égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propre associée dans le polynôme caractéristique.

Et oui si le déterminant est nul, la matrice n'est pas inversible.

J'ai de nouveau une question et etant donné que c'est sur le même thème, je re-up ce topic

Est-ce qu'il y a un ordre bien precis des vecteurs propres dans la matrice de passage ou sa revient strictement au même ? Car lorsque j'ai fait 2 fois le même exos, mais en changeant de place les vecteurs propres, les valeurs de la matrcie diagonale sont interchangées.. Est-ce que ca a un impact sur la validité de la matrice ou non ?

Merci

Les matrices que tu obtiens en permutant des éléments de ta base de VP sont heureusement semblables entre elles donc le choix de l'ordre des vecteurs de la base n'importe pas.