Salut, j'ai un trou concernant deux exos dans le chapitre de la continuité et de la dérivabilité. Le truc c'est que je sais pas par ou démarrer, sur quoi partir même en connaissant les définitions etc, j'arrive pas à voir quelles étapes suivre.

1) Un marcheur parcourt 15km en 3 heures. Montrer qu'il existe un intervalle d'une heure pour lequel il a fait exactement 5km.

Je pense que ça se fait avec le corollaire du TVI, mais comment l'appliquer? Je vois pas vraiment, je comprends le truc mais le traduire logiquement ça veut pas.

2)Majorer l'erreur commise en valeur absolue lorsqu'on remplace 1/0.999² par 1

Alors là par contre c'est le flou complet. Ca doit avoir un rapport avec la continuité, et les limites, sinon je suis perdu.

Aidez moi s'il vous plaît

f(t) = d(t+1) - d(t) est une fonction continue.
f(0)+f(1)+f(2) = 15
donc l'un des f(i) est plus grand que 15/3 = 5 et un autre est plus petit

par TVI y a un valeur égale à 5 prise par f

Merci

Pour le deuxième je bloque toujours :/

la question 2 est bizarre.

Majorer l'erreur c'est facile, on sait par exemple qu'entre 1/0,999² et 1 ya moins de 10000000 d'écart (j'ai pris gros pour montrer le caractère grossier de la question).

Maintenant on peut chercher une majoration assez fine et pour ça tu peux regarder du côté de l'approximation affine ou des développements de Taylor à des ordres plus élevés.

J'ai pas vu les développements de Taylor, et l'approximation affine connais pas, ptet un rapport avec la dérivée?

Oui l'approximation affine c'est juste approcher la courbe par ses tangentes.

donc tu dis que la courbe de 1/x² autour de 1 c'est quasiment la même chose que sa tangente en ce point donc tu calcules l'équation de la tangente en ce point et tu regardes sa valeur en 0,999.
Enfin on a pas vraiment besoin de la calculer, tout ce qu'on veut c'est majorer l'erreur pour ça faut juste voir ce qui fait office de "reste" dans l'équation de la tangente

Déjà je comprends pas vraiment qu'est ce qu'on entend par 'majorer', c'est trouver une intervalle pour encadrer l'erreur commise entre la valeur réelle et celle approchée?

Majorer (en valeur absolue) c'est juste dire : 1/0,999² est à une distance inférieure à .... de 1

et on peut remplir le .... de deux façons :
1) on calcul 1/0,999² mais c'est trop long et inutile
2) on essaye d'écrire 1/0,999² comme 1+quelque chose et ce quelque chose sera notre majorant. et pour trouver ce quelque chose on peut utiliser la méthode de la tangente que j'ai décrite audessus.