Comment prouver que z - zbarre = 2z si z est imaginaire pur ?

PS : C'est pas sur que ce soit vrai mais je pense que si

si z est imaginaire pur, il n'a pas de partie réelle donc z=ib avec b un réel

J'ai trouvé merci.

En fait je suis sur un exo ou je dois prouver des affirmations, leur réciproques, et leur contraposée et donc établir des équivalences.

Pour pas faire n'importequoi, je fais appel à votre aide pour que je sois sur de ce que je fait :

Par exemple,

Si Re(z) = 0 alors z = 0

La réciproque est

Si z = 0 alors Re(z) = 0

Contraposée est

Si Re (z) =/= O alors z =/= 0

Est une relation que l'on peut mettre sous forme d'équivalence, c'est une relation qui est vraie, avec réciproque vraie ? Ou faut aussi que la contraposée soit vraie ?

une équivalence, il faut que la réciproque soit vrai oui

Merci

Par contre quelqu'un sait comment démontrer " si z - z[barre] = 2z alors z est imaginaire pur " ?

J'ai trouvé c'est bon merci

J'ai une autre question à justifier :

Soit X l'ensemble des points M d'affixe z telle que mod(z-i) = mod(z+2i)

X est une droite parallèle à l'axe réél.

mod = module de biensur

J'ai du mal à dire si c'est vrai ou faux, j'ai l'impression que c'est faux car je vois pas comment la distance z-i serait la même que z+2i.

Mais dans tout les cas j'arrive pas à justifier

Ouaip y'a tellement de propriétés que je m'y perd un peu en complexe, donc je décide de commencer mon week avec eux

Autre question sur laquelle je suis bloqué.

z = 3 + i(sqrt3)

Est il vrai que pour tout entier naturel n non nul, on à z^3n imaginaire pur ?

Bon d'après ma calculatrice c'est vrai, je sais aussi que i^3n = -i , mais je ne trouve pas d'autres choses qui pourraient m'aider

Essaye de mettre z sous la forme exponentielle
donc z=|z|*exp(i*arg(z))
Pour cela, tu calcules le module de z puis tu écris :
z=|z|*(3/|z|+i*sqrt(3)/|z|)

Si tu fais les choses comme il faut, tu devrais trouver
z=|z|(a+ib)
où a et b sont le cosinus et respectivement le sinus d'un nombre, qui sera alors ton argument arg(z)
et tu pourras donc remplacer a+ib par exp(i*arg(z)).

Une fois que c'est fait
z^3n=|z|^3n*exp(3*n*i*arg(z))
Et il te restera plus qu'à montrer que 3*n*arg(z) est égale à pi/2 ou -pi/2 quelque soit n.

J'ai trouvé comme forme expo 2sqrt3 e^ipi/6

Mais j'arrive pas à continuer

C'est le bon argument, es-tu sûr que ce n'est pas pour tout entier naturel impair ?
Parce que (3+i*sqrt(3))^2 ça peut pas être imaginaire pur.

C'est ^3n

Heu oui pardon, ben z^6, donc n=2 ça ne marche pas.

z^6=|z|^6*exp(I*Pi*6/6)=-|z|^6 qui est réel.
Et tu as bien la bonne forme exponentielle.
Donc le nombre n ne parcourt que les impairs normalement dans ta question.

z^6=|z|^6*exp(I*Pi*6/6)

Je comprend pas d'où vient le *6/6 ? t'a voulu mettre 1/6 non ?

Et c'est pas tout le complexe z qui doit être puissance 3n ( dans ton exemple 6 ) car l'a du n'a mis que le module de z ( en l'occurence 2sqrt3 ) à la puissance 6.

J'y arrive vraiment pas

Le module doit être mis à la puissance aussi. C'est l'intérêt de la forme exponentielle de pouvoir calculer les puissances de z facilement.
Puisque (ab)^c=(a^c)*(b^c)

Donc si z=|z|*exp(i*arg(z))
Alors z^3n=|z|^3n*exp(i*arg(z))^3n=z^3n=|z|^3n*exp(3n*i*
arg(z))

Et pour mon calcul :
Vu que arg(z)=Pi/6
3*n*arg(z))=3*n*Pi/6
Donc si n=2, on a Pi*6/6=Pi
Donc z^3n pour n=2 vaut
z^6=|z|^6*exp(6*i*arg(z))

En remplacant ton dernier calcul par mes valeurs je trouve -1728.

Je sais pas comment ca peut répondre à l'affirmation :/

ça n'y répond pas, c'est bien le problème, tu trouves un réel et non un imaginaire pur.
Alors y a deux solutions : le z que tu as donné au début n'est pas le bon ou bien n parcourt que les entiers impairs et la question est fausse.

(enfin, la conclusion à obtenir est fausse plutôt)

Alors après vérification le z de la question faut bien 3 + i*[racine de 3]
Et dans la question on demande si oui ou non z^3*n est un imaginaire pur.

J'arrive pas à le prouver mais en faisant des essais à la calculatrice on voit bien que l'affirmation est vraie :/