Salut la dérivé de x/(x²+1) est : 1(x²+1)-x(2x)/(x²+1)²
=(x²+1)-(2x²)/(x²+1)²

Au lieu de réduire cette expression ai-je le droit de simplifier comme ça :

(x²+1)/(x²+1)²-(2x²)/(x²+1)²
=1/(x²+1)-(2x²)/(x²+1)²

Il manque des parenthèses non ?
Dur de voir ce que tu veux répondre.
En tout cas :

[1(x²+1)-x(2x)]/(x²+1)²=1-[2x²/(x²+1)²]

C'est pas faux mais çà n'a strictement aucun intérêt, le but d'une dérivée c'est d'étudier son signe et pour que cela soit plus facile, il faut toujours laisser le dénominateur au carré car un carré est toujours positif. Ainsi il suffit d'étudier le signe du numérateur pour avoir le signe de la dérivée.

Donc ici ta dérivée doit s'écrire sous la forme : (-x²+1)/(x²+1)²

(-x²+1)/(x²+1)²

Donc -x² est toujours positif ?

Non, (x²+1)² est toujours positif, donc le signe de ta dérivée est du signe de (-x²+1).

-x² est au contraire toujours négatif (signe moins devant un nombre toujours positif), du moins dans les réels.

Ok merci pourquoi si (x²+1)² est toujours positif le signe de la dérivé est le signe de -x²+1 ?
et -x²+1, delta = b²-4ac=0-4*(-1)*(1)=4 positif donc c'est du signe de a sauf entre les racines -1 et 1
donc sur R privé de -1 et 1 f est strictement négatif ?

Parce que si tu as un facteur toujours positif son signe ne dépendra pas de lui car :
Si l'autre facteur est négatif, on obtient du négatif.
Si l'autre facteur est positif, on obtient du positif;

Ca vient du fait que deux nombres positifs donnent un nombre positif et deux nombres de signes opposés un nombre négatif.

" et -x²+1, delta = b²-4ac=0-4*(-1)*(1)=4 positif donc c'est du signe de a sauf entre les racines -1 et 1 ". Oui

" donc sur R privé de -1 et 1 f est strictement négatif ? ". Non, il est strictement négatif sur ]-inf,-1[U]1,inf[. Comme tu l'as dit entre les racines c'est du signe de -a donc positif.

ah oui merci beaucoup je viens de comprendre

par exemple j'ai 2(2x-4)/x²

x² toujours positif
2 toujours positif
donc cela dépend du signe de 2x-4 ?

Tout a fait.