Salut, je bloque sur un DM de Spé Maths, auquel j'ai déjà répondu assez difficilement à la 1ère question...

1) justifier que 2^3 congru 1 mod(7)
quel est le reste de la division euclidienne de 2^2014 par 7?

2) soit n un entier naturel, montrer que 2^3n+1 congru 2 mod(7)

3) soit n un entier naturel, montrer que 5^6n+1 congru 5 mod(7)

4) en deduire que pour tout entier naturel n, 2^3n+1 + 5^6n+1 est divisible par 7

Je ne demande pas forcément de réponse directe, mais des explications, ce serait vraiment sympa. Merci !

l'absence de parenthèse est passible de DDB

1) Tu sais que a=b[n] => a^p=b^p[n]
2) Récurrence c'est correct pour n=0, et il suffit de démontrer que 2^(3n+3)+1-2=7k ce qui facile par récurrence ( Pour faciliter les choses démontre que 2^3n+1=(7k/8)+1 )
3) Idem
4) Conclusion des deux dernière question

Je te remercie Niontrix, c'est super gentil de m'avoir aidé ! Je vais essayer d'appliquer tes conseils, je te tiens au courant !

De rien

PS pour la deuxième question: avec l’hypothèse de récurrence, on peut supposer que 2^3n-1=7k donc suffit de démontrer que 8*2^3n-1=7k'

Je pense avoir trouvé plus simple pour la 2/, mais je suis pas sûr que ça soit bon...

2^3n+1 = (2^3)^n*2.
Donc (2^3)^n * 2 est congru à 1^n * 2 [7]
donc (2^3)^n * 2 est congru à 2 [7]
donc 2^3n+1 est congru à 2 [7]

Est-ce bon, SVP ?