Bonjour,

f(x)=x/lnx sur ]1;+inf[ et U0=9 et Un+1=f(Un)

La question est démontrer par recurrence que, pour tout entier naturel n, on a Un>e

J'ai fais :
Initialisation : pour n=0 U0>e => 9>e donc P(0) est vraie

Heredité : on suppose qu'il existe un k tel que p(k) est vraie et on demontre que p(k+1) est vraie. P(k) est vraie implique : Uk>e <=> f(Uk)>f(e) <=> Uk+1>e/lne <=> Uk+1>e donc p(k) est vraie

Conclusion : pour tout n on a Un>e

Est-ce bon ? Merci de vos futures reponses

pour appliquer f(Uk)>f(e) il faut savoir si la fonction est croissante !

La fonction est décroissante sue ]1;e[ et croissante sur ]e;+inf[

Oui, faut le préciser, parce que c'est la croissance sur ]e,+oo[ qui fait marcher la récurrence.

donc c'est bon car ta fonction est définie sur ]1,+inf[ et e>1
ce que tu as fais après ca ma paraît bon

Donc à côté de la ligne f(Uk)>f(e) je rajoute "car f est croissante sur ]e;+inf[" ?

Merci beaucoup

ouais mais il faudrait détailler les calculs que tu as fais pour prouver les variations de f

Oui j'ai détaillé les calculs dans une autre question qui me demande d'étudier les variations de f.

ah d'accord donc voilà à quoi servait cette question

Merci.
Une derniere question : calculer la quantité Un+1-Un, en deduire les variations de la suite (Un) puis que la suite converge vers une limite l. Je sèche completement, une piste ?

Un > e pour tout n, donc ça implique aussi que Un+1 > e donc Un+1 - Un > 0

Pourtant la suite est décroissante

ah je me suis trompé alors
je réfléchis ...

trouvé !
enfin je pense

On part de Un>e
donc ln(Un)>ln(e)=1 car la fonction Ln est croissante
1/ln(Un)<1 car la fonction inverse est décroissante
Un/ln(Un)<Un on multiplie par Un, ca ne change pas l'inégalité car Un est positif pour tout n
Donc Un+1<Un

Merci beaucoup ça me parait bon
Donc la suite est décroissante et la limite est égale à e, c'est ça ?

Voilà car décroissante et minorée implique convergente (vers e)