Hello

j'ai cette question ; "Donner le reste de la division euclidienne de 10^4 par 17. En déduire que 10^16 congru 1(modulo 17) ".

Seulement voila, je ne sais plus comment appliquer la division euclidienne, quelqu'un pourrait m'expliquer svp?

Merci

Il te suffit de trouver un entier r tq 0<=r<17 et 10^4 = r [17]
Utilise donc les congruences pour trouver facilement ce reste

j'ai trouvé 10 000 = 17x588 + 4. Mais est-ce que cela répond à la première partie de la question?

Oui ça y répond

Voila comment faire une division euclidienne http://sketchtoy.com/57931741

Bon, je viens de voir que tu as déjà trouvé la réponse.
Donc typiquement, là le reste c'est 4. Et donc oui, ça répond bien à la première partie de la question

donc le reste c'est 4?

Sinon comment pourrais-je en déduire que 10^16 congru 1(modulo 17) ? Vu que je dois utiliser le résultats précédent je suppose que utiliser le petit théorème de Fermat n'est pas possible.

Ca marcherait mais là on te demande d'en déduire donc tu ne peux pas.

10^4 = 4 [17] donc (10^4)^4 = 10^16 = 4^4 [17]

Reste à montrer que 4^4=1[17]

D'accord, merci pour vos précieuses réponses

voici mon raisonnement ;

10^4 congru 4[mod 17]
10^16 congru 4^4[17]

10^16 - 256 = 17*k
10^16 = 17xk + 256
= 17*k + 17*15 + 1
= 17 (k+15) +1
10^16 - 1 = 17 (k+15)

donc 10^16 congru 1[17]

sa c'est correct?

Ca marche oui je trouve que tu te compliques un peu quand même:

4²=-1[17] donc 4^4=(-1²)=1[17]

(-1)² *

d'accord , merci beaucoup

après il me reste une dernière question à mon dm, mais je vais dabord essayer de trouver seul !!

D'accord bon courage !