Salut, j'ai utilisé la méthode des coefficients indéterminés pour une question sur les complexes qui est :

Déterminer les réels a , b et c tels que :

z^3 + ( -8+i)z² + ( 17-8i )z + 17i = ( z+i )( az² + bz + c )

En développant le membre de droite je trouve :

(a)z^3 + ( b+ai )z² + ( c+bi )z + (z+i)c

J'ai trouvé a , b et c avec les trois premiers monômes de chaque membre ( celui de gauche et le développé de droite ) ils valent respectivement 1 ; -8 ; 17 mais je ne sais pas si il faut ignorer le 4ème monôme, et je ne suis pas sur de quoi est égal à quoi.

Pouvez vous m'aider ?

en fait, tu as un système de 4 équations à 3 inconnus. Ici tu as :

a = 1
b+ai = -8+i
c+bi = 17-8i
et c = 17

tu résout c = 17, b = -8 et a = 1 ... et c'est tout. Qu'est-ce qui te dérange ? Ici, avec ces valeurs de a, b et c, en remplaçant dans les 4 équations, tu obtient les bonnes valeurs, donc il n'y a aucun soucis. Si tu avait eu, par exemple :

a = 1
b+ai = -8+2i

tu aurais eu a = 1 et a = 2, c'est impossible donc il n'y a pas de solution (c'est à dire que l'équation z^3 + ( -8+2i)z² + ( 17-8i )z + 17i ne peut pas se mettre sous la forme factorisée ( z+i )( az² + bz + c ) )

mais là, tout va bien. Tu as z^3 + ( -8+i)z² + ( 17-8i )z + 17i = (z+i)(z²-8z+17).

C'est donc à sa que sert le 4ième monome, à vérifier que ton système est cohérent.

Merci beaucoup, ça me rassure.

J'ai une autre question , je la pose ici pour ne pas recréer un topic.

Résoudre z^3 + ( -8+i)z² + ( 17-8i )z + 17i = O dans l'ensemble des nombres complexes.

Je sais pas trop comment m'y prendre, je sais que -i est solution d'après une question précédente mais je sais pas quoi faire d'autre.

si -i est solution alors tu peux factoriser ton expression par (z-(-i))=(z+i)

Je vois pas trop comment aboutir à une solution en fait

il faut te servir de la 1ère question !
si on factorise par (z+i) alors ton expression est égale à (z+i)(z²-8z+17)
et un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

J'vais essayer

J'ai trouvé les racines complexes c'est bon merci

Mais -i reste une solution ? Les solution de l'équation sont les racines complexes de (z²-8z+17) ainsi que -i ?

-i reste une solution