Salut,

Je suis en train de réviser pour les partiels et je suis totalement perdu aux niveau des histoire de diagonalisation etc...
Je comprend pas ce que je dois faire après après avoir trouvé mes valeurs propres:

Exo :

M =
2 1 0
0 2 0
0 0 2

La matrice est elle diagonalisable ?

Donc je cherche les valeurs propres

(2-X) 1 0
0 (2-X) 0
0 0 (2-X)

Puis le déterminant de ce truc :
(2-X)^3

Je trouve une valeur propre : 2

Et ensuite je sais plus trop quoi faire

Merci de m'aider

Si elle était diagonalisable, vu que la seule valeur propre est 2, elle serait égale à 2.Id (dans toutes les bases). Vu que ce n'est pas le cas, elle n'est pas diagonalisable.

ça fait plus d'un an que j'ai pas essayé de diagonaliser donc je raconte peut être des bêtises (vérifie bien ce que je dis quoi)

si ton poly caractéristique c'est (2-X)^3, ça veut dire que 2 est la seule VP. Donc si ta matrice était diagonalisable, elle serait semblable à 2*I3 (l'identité de M3(R ou C)). C'est absurde car 2*I3 a la même forme dans toute la base, qui n'est pas la forme de ta matrice M. Donc M n'est pas diagonalisable.

Dans ma correction il est question de
Ker(M-2I3) = Vect((1,0,0),(0,0,1))

A quoi ca correspond ?

Ker(M-2I3) c'est le sous-espace propre correspondant à la valeur propre 2. C'est exactement l'ensemble des vecteurs x qui vérifient Mx=2x.

Je totalement perdu là :/
Ca correspond à quoi concrètement ?

PS: Désolé si je suis totalement pommé mais c'est des notions que j'ai vu l'année dernière et le prof nous avait rien expliqué donc du coup j'ai des lacunes sur ça

Concrètement ce sont des vecteurs qui ne "vont pas changer de direction" quand tu vas leur appliquer M. Autrement dit, ce sont des directions particulières sur lesquelles M va agir comme une homotétie (sur les vecteurs de Ker(M-2I3), elle va les multiplier par 2).
Si t'es complètement paumé, faut relire un cours avant de faire des exos.

Une matrice carré correspond à l'expression d'un endomorphisme, donc une application qui transforme un vecteur en un autre vecteur de même dimension. Deux matrices semblables (voir la définition) sont l'expression d'un même endomorphisme dans des bases différentes.

Une matrice diagonale est l'expression dans une base telle que tout vecteur de celle-ci se retrouve simplement dilaté ou rétrécit sans changer de direction si on lui applique l'endomorphisme (une homothétie comme dit mon voisin du dessus).

Pour qu'une matrice soit diagonalisable, il faut donc trouver autant de valeurs propres que la taille de la matrice. (ou plus exactement, il faut que la somme des multiplicités de ces valeurs propres qui correspondent aux racines du polynome caractéristique soit égale à la taille de la matrice)
Ne pas pouvoir diagonaliser, cela signifie que les valeurs propres ne permettent pas d'engendrer un espace de dimension suffisante afin de redonner l'endomorphisme de départ et que tu perds des informations.