Bonjour, je bloque à la question 3.a) dans un exercice de maths, quelqu'un pourrait me dire la méthode pour savoir si c'est une valeur propre de f ? svp

0 valeur propre de f <=> dim ker f > 0, par définition d'une valeur propre.

Si la dimension de Kerf est supérieure à 0, alors 0 est une valeur propre, c'est ça ?

Strictement supérieure oui.

Merci, mais en fait, dans le corrigé de l'exercice, ils font :
A²-A=0 et donc 0 est une valeur propre de f.

Mais pourquoi ils font ça ? C'est quoi cette méthode ?

T'as vu la notion de polynôme annulateur/minimal ?

J'ai pas vu l’exercice mais je te donnes quelques outils :

Si dim(ker(f)) est supérieur strictement à 0, alors 0 est une valeur propre.
Si dim(ker(f)) = 0 alors f est injective d'où 0 n'est pas valeur propre.

Sinon tu calcules le polynômes caractéristiques "Khi A" :
Xa = Det (A-XIa) avec Ia la matrice identité.

Et tu regardes si 0 annule ce polynôme. Si oui 0 est une valeur propre de A.

J'ai la définition d'un polynôme annulateur, mais je sais pas m'en servir.

J'ai :"P est un polynôme annulateur de f si P(f)=0", mais je sais pas à quoi ça correspond

T'as la dimension de ker(f). Si elle est strict positive, alors 0 est valeur propre.

Point.

A²-A=0 donc P=X²-X=X(X-1) est annulateur de A

P est en fait le polynôme minimal de A (facile de s'en convaincre, les degrés 0,1 marchent pas et celui-là est unitaire de degré 2)

P a donc les mêmes racines que le polynôme caractéristique de A (à des multiplicités différentes) donc les valeurs propres de A sont 0 et 1.