Bonsoir,

J'ai un soucis. Voilà en L1 EM, on a un chapitre d'optimisation. En gros, on déterme les points critiques, on fait une matrice hessienne et selon le signe de A et de AC-B^2 on peut interpréter si c'est un minimum ou un maximum.

Sauf que dans le cours, quand on a le déterminant = 0 on a juste qu'il fallait faire une étude directe. Mais c'est quoi une étude directe et comment ça se passe ?

Merci.

Si t'as un dét nul, ça veut dire que selon au moins une direction, la variation à l'ordre 2 est nulle, ce qui t'oblige à aller chercher l'ordre 3 (la dérivée de la hessienne), puis l'ordre 4 si c'est encore nul, etc. Comme exemple simple, pense à la fonction cube, donc la dérivée première ET la dérivée seconde sont nulles en 0.

Plutôt que de faire ça (bonjour les calculs pour dériver 3 fois une fonction de plusieurs variables), on revient directement à la fonction (si elle est donnée de façon explicite, type polynôme, fraction rationnelle, exponentielle/logarithme/ce que tu veux...) et on fait un DL au voisinage du point critique pour déterminer si oui ou non on a un maximum/minimum/point-selle (type x^3).

En bref, une étude directe, c'est un DL.

Merci. Mais un DL c'est quoi ? XD Ça donne quoi si t'as un exemple ? Dans le cours, j'ai un seul exemple d'étude directe que je ne comprends pas. On voit que le déterminant est égal à 0, alors on a étudié le signe de f(0+h1;0+h2). Il était positif donc minimum. Mais j'ai pas capté. Oo

Un développement limité.

Merci. Mais comment on fait ça ? J'en ai jamais fait. Oo Si je fais du taylor au point critique ça marche aussi ?

Oui, c'est justement un développement limité.

Ok. Merci. Donc j'ai mes points critiques. Je fais taylor avec. Si ça donne un truc positif = minimum si négatif = maximum ?

Si ton point critique c'est (a,b), tu étudies le signe de f(a+h,b+k)-f(a,b). Par contre c'est pas nécessairement de signe fixe.

Merci. Mais du coup comment je fais ? Dans ces cas-ci, les points critiques c'est souvent (0,0). Genre je prends ma fonction de base et je remplace par (0+h,0+k) soit par h et k ? Et je soustraits par la chose ? Mais si le signe varie pas vrai tout le temps ou pas ?

Et le Taylor dans tout ça ?

Up.

Si pour (h,k) assez petit, f(a+h,b+k)-f(a,b) est de signe constant, tu as un extremum local (un maximum si c'est négatif, un minimum si c'est positif). C'est juste de la logique : ça veut dire que quand tu es assez proche de (a,b) ton image sera forcément inférieure/supérieure à f(a,b).

Si par contre il existe des couples (h_0,k_0) et (h_1,k_1) arbitrairement petits tels que f(a+h_0,b+k_0)-f(a,b) < 0 et f(a+h_1,b+k_1)-f(a,b) > 0, alors tu n'as ni maximum, ni minimum, vu qu'il existe aux alentours à la fois des points dont l'image est plus grande et des points dont l'image est plus petite que f(a,b).