Hello

J'ai quelques soucis sur les extensions de Corps et notamment pour savoir le degré d'une extension.
Genre si on note L/K une extension, dans mon cours ya marqué que L est muni d'une structure de K-espace vectoriel et que le degré de L/K noté [L:K] vaut la dimension de L sur K.

C'est là que je bloque, je comprends pas comment on trouve ce degré

exemple:
[C:R]=2 où C = ensemble des complexes et R = ensemble des réels

[Q:R]=+∞ où Q = ensemble des rationnels (c'est surtout là où je comprends pas comment on fait pour trouver +∞)

Merci de votre aide

Trouver la valeur de ce degré est pas toujours facile, c'pour ça qu'on te donne seulement des exemples basiques pour lesquels on connaît d'avance la réponse.

Pour le premier exemple, que C soit un R-ev de dimension 2, je pense pas que ça te pose problème.

Pour le deuxième, on utilise un argument de dénombrabilité. Si R était un Q-ev de dimension finie, il serait isomorphe, en tant que Q-ev, à Q^n. En particulier, on aurait une bijection entre R et Q^n, ce qui contredit la non-dénombrabilité de R.

Autre exemple que tu aborderas certainement : si L/K est une extension donnée et a € L\K, le degré de l'extension K(a)/K est aussi le degré du polynôme minimal de a sur K si il existe, +oo sinon. Dans le cas +oo, a est dit transcendant sur K.

(d'ailleurs j'ai marqué [Q:R] au lieu de [R:Q] )

D'accord. Mais du coup dans mon exercice où on se donne le polynôme f(t)=t^n - p où p est un nombre premier, on a prouvé dans les premières questions que f(t) est irréductible sur Q et on en a déduit qu'un corps de rupture de f(t) était Q(p^(1/n)) (ça vient du fait qu'une racine de f est p^1/n je pense) et son degré est n=deg f, et j'ai pas compris ce point

Un truc utile pour trouver les degrés (et qui se montre facilement) :
Si K sous-corps de L, sous-corps de M, alors [K:L][L:M]=[K:M].

C'est justement ce que disais Hachino : "si L/K est une extension donnée et a € L\K, le degré de l'extension K(a)/K est aussi le degré du polynôme minimal de a sur K".

ah ok !
Je vois un peu mieux merci !

Et si tu veux une base de Q(a) comme Q-ev (a = p^(1/n)) :
(1,a,...,a^(n-1))

C'est libre sinon tu contredis la minimalité de f (il est minimal car il est irréductible, et les annulateurs forment un idéal), et c'est générateur par définition de Q(p^(1/n)).

Hachino tu me corriges si je dis une bêtise.

pas tout compris la pour le coup

je vais relire mon cours ^^

Je pense que tu peux oublier le milieu de mon message.

ok ^^

Prauron Tout m'a l'air en ordre. Rappelons le fait suivant, utilisé implicitement dans la preuve et toujours bon à savoir : si K est un corps, l'anneau K[X] est principal.

utilisé dans la preuve ?

Oui dans me tête je pensais idéal monogène...

Si tu supposes qu'il existe un polynôme unitaire de degré < n qui annule a, alors comme l'ensemble des polynômes annulateurs de a est un idéal de Q[X], qui est principal, cet idéal est de la forme P*K[X], où P est le polynôme minimal de a. Mais dans ce cas, f s'écrit comme P*(un polynôme de degré >= 1), ce qui contredit le fait que f est irréductible.

dac merci

Et pour l'aspect générateur, si x appartient à Q(a), x s'écrit P(a), avec P dans Q[X].
Après tu fais la division euclidienne de P par f, et tu en déduis que x = R(a), avec deg R < n, donc s'écrit comme combinaison Q-linéaire de (1,a,...,a^(n-1)).