je lis le livre de topologie de Pearson et j'ai un peu du mal avec la notion de compact.

comment vous expliqueriez avec des mots simple ce qu'est un compact??

Et aussi est-ce que vous auriez une manière imagée de justifier le lien entre la définition de Bolzano-Weierstrass et la définition de Borel-Lebesgue?

merci d'avance

Je reprendrai l'expression de mon prof de spé, joliment imagée : "un compact est un ensemble 'approximativement fini' ".

Si tu prends une suite à valeurs dans un ensemble fini, tu peux en extraire une sous-suite constante (qui va donc converger, sauf à fiche sur ton ensemble une topologie un peu tordue, à la Zariski). Dans un compact, tu vas à tout le moins converger.

Idem pour la propriété de recouvrement de Lebesgue.

pourquoi approximativement fini? Qu'est-ce qui justifie le parallèle avec la finitude??

et pour ma deuxième question en fait je voudrais savoir en quelques mots pourquoi BW <=> BL

Un fermé borné ?

(c'est la définition de mon cours)

Qui n'est valable que pour un ev de dimension finie.

La phrase d'après est la justification que tu recherches. Les compacts ont été inventés pour faire converger "de force" des suites, d'où le parallèle avec les ensembles finis.

Grosso merdo : si BW n'est pas vérifié, on doit pouvoir isoler les points de la suite les uns des autres avec des petites boules (bon, c'est à nuancer, ça dépend du type de défaut de non-compacité) et tu contredis Borel-Lebesgue.

Si BL n'est pas vérifié, tu dois pouvoir créer une suite à partir d'une famille infinie d'ouverts sans sous-recouvrement fini et cette suite ne pourra pas converger.

Bien sûr, tout ça est tiré à très gros traits.

d'accord je pense saisir le concept.

en fait BL est une sorte de généralisation de BW dans le cas où l'espace est plus métrisable? Ou alors on peut généraliser BW sans métrique?

On n'a pas besoin de métrique pour définir la compacité, il suffit d'une topologie, que tu la définisses en termes de suites extraites ou de recouvrement d'ouverts.

pas pour définir la compacité mais pour avoir BW.

On a pas besoin d'espace métrique pour la compacité au sens de BW mais seulement d'un espace métrisable.

Cela étant pour ta question, je la comprends sous le sens de "il y a-t-il une propriété qui ressemble à BW et qui serait vraie pour un espace topologique non métrisable", la réponse est oui et s'obtient à l'aide de la notion d'ultrafiltre convergents. Je n'en dirai pas plus parce que je ne m'y connais pas trop en filtres, en tout cas pas dans leur application à l'analyse, je les ai seulement manipulés en algèbre et que très peu...

mais ya pas de différence entre métrisable et métrique. Un espace métrisable est métrique et vice versa.

Dans un espace métrisable on ne précise pas la métrique. Parler de suite de Cauchy dans un espace métrisable n'a pas de sens par exemple puisque cette notion dépend de la métrique.

Mais ce que je sous-entends surtout dans ma remarque sur le fait qu'on a besoin d'un espace métrisable et pas forcément métrique c'est que dans BW on ne parle justement nulle part de distance et on en a pas besoin pour énoncer BW. Par contre on a besoin pour le démontrer.