un défi à la Klaus, court et efficace :

A l'extérieur d'un triangle rectangle je trace un carré qui a l'hypoténuse pour côté commun avec le triangle. Montrez que la bissectrice de l'angle droit du triangle coupe le carré en deux parties de même aire.

(pas de figure parce que Noelshack semble down mais la figure est simple à visualiser de tête de toute manière)

http://sketchtoy.com/56637280 voila

Non c'est :
http://sketchtoy.com/56637391

Non: http://sketchtoy.com/56637513

Disons que ton triangle c'est AEH. On complète la figure de cette façon :
http://vandymath.free.fr/IMG/gif/ex_dem_1_.gif
Alors la bissectrice dans l'angle droit du triangle c'est la diagonale du carré ABCD. Elle coupe (EH) et (GF) en I et J respectivement. On montre facilement que les triangles AIH et JFC ont les mêmes angles, et FC = AH. Dont ils ont même aire. De même pour AIE et JGC. Pour EBF et HDG c'est clair, de même que pour ABC et ACD.
De ces égalités on déduit le résultat.

"Donc ils ont même aire"

Plus précisément :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangles_isom%C3%A9triques#Seconde_caract.C3.A9risation

bien joué