un défi type olympiade que j'aime beaucoup

On considère un réel non nul x et on définit la suite x(n) par la récurrence :
x(0)=x
x(n+1)=E(x(n)) * frac(x(n))

(E = partie entière, frac = partie fractionnaire)

exemple si x = 11,458 :

x(0)=11,458
x(1)= 11 * 0,458 = 5,038
x(2)= 5 * 0,038 = 0,19
x(3) = 0 * 0,19 = 0
x(4)=0
etc..

1) (facile) montrez que si x est positif alors x(n) stationne a 0 au bout d'un moment

2) (plus dur) que dire de la suite lorsque x est négatif??

1) x(n) stationne a 0 car pour tout réel x positif et pour tout y compris entre [0;1[

x*y<x

y étant la fraction et étant un nombre supérieur ou égal a 0 et strictement inférieur à 1

2) j'y réfléchis...

1) oui et donc?

et donc x tend vers 0

x c'est le premier terme de la suite, il est fixé

Je voulais dire x(n):

t'as pas donné tous les arguments, ton argument ne parle même pas de la suite

pas d'idées pour x négatif??

Alphaciel[67] ça marche mais beaucoup trop compliqué pour si peu!

Si E(x(n)) > 0, E(x(n+1)) =< x(n+1) < E(x(n))
Du coup la suite E(x(n)) va décroître strictement puis stationner en 0. Et à partir du moment où E(x(n)) = 0, x(n+p) = 0 pour tout p>0.

Pour les négatifs, ça a l'air de boucler sur 2 valeurs de somme -1, mais j'ai la flemme de réfléchir pourquoi.

oui bonne conjecture

personne n'a pas "la flemme de réfléchir" sur ce forum?

si x(n) n'atteint jamais 0 quand x est négatif c'est que E(x(n)) est constante à partir d'un certain rang. En notant k cette constante on donc qu'à partir d'un certain rang x(n+1)=k(x(n)-k) (car frac(x)=x-E(x))

A partir de là et en introduisant une bonne suite auxiliaire c'est terminé.

Klaus oui c'est bon mais tu zappes la plus grosse partie du problème : l'étude de la suite x(n+1)=k(x(n)-k)

pcq trouver la suite auxiliaire c'est pas évident...

Je n'ai pas non plus voulu spoiler, mais l'introduction de la suite auxiliaire est induite par les points fixes de f(x)=k(x-k)

Tu peux développer Klaus parce que je ne comprends pas bien le lien entre la suite auxiliaire et les points fixes de f...