Bonsoir tout le monde, j'aurai besoin d'un petit coup de main généreux de votre part si ce la ne vous dérange pas SVP

Voila je travail sur un exo portant sur la réduction des endomorphismes :

Montrez que si A ou B € Mn(K) est inversible alors :

(a) AB diagonalisable => BA diagonalisable (Donc ça ok)

(b) SP(AB) = SP(BA)

Donc pour cette question je bloque un peu, mais j'ai mon idée :

Puisque AB et BA sont semblables à une même matrice diagonale qu'on note D. D'après la définition de la diagonalisation, la matrice D est formé des vecteurs propres de AB et donc de BA, donc SP(AB)=SP(BA). Je ne sais pas si l'idée est la ou comment le montré rigoureusement ? Je peux utiliser la notion de matrice d'endomorphisme ?

Merci d'avance pour vos réponses !

Je note X* = X^(-1)

Si A inversible et AB diagonalisable :

AB = PDP*

donc ABAA* = PDP*
donc BA=A*PDP*A=QDQ* avec Q = A*P

donc BA diagonalisable et semblable à D donc à AB donc elles ont les même vp