j'ai l'exercice suivant à résoudre :

Soit M une matrice de GLn(Z) telle que la suite max(coeffs de M^n) lorsque n décrit N est bornée. Montrez que M est une matrice de permutation.

http://fr.wikipedia.org/wrg/wiki/Matrice_de_permutation

Mon ébauche de solution :

D'après le théorème de Lagrange pour les groupes il existe un entier k tel que A^k = I (matrice identité).

Donc A est annulée par x^k-1 donc est diagonalisable dans C. Mais je vois pas comment exploiter la matrice diagonale dans C.

des idées pour continuer?

Question préliminaire : quel groupe ?

J'ai oubliée une hypothèse : Les coefs de A sont positifs (sinon c'est faux)

et pour les groupes je considère le sous-groupe de Gln(Z) engendré par A, il est fini donc il existe k tel que A^k = neutre = I

non?

Lagrange s'applique à quels groupes déjà ?

en fait j'utilise pas du tout lagrange je dis juste que si un groupe est cyclique de générateur g alors il existe g tel que g^n = e

Sinon une première piste : écrire explicitement (sans trop de détails tout de même) le produit matriciel de A (ou M selon les notations) par elle-même, avec tous les coefficients. Peut-il y avoir un coeff > 1 ? (Rappel : la matrice est inversible.)

Le problème est le même Amandin (en fait il apparaît encore plus clairement) : qui te dit que le poly minimal de A est un monôme ?

pourquoi le polynôme minimal de A devrait être un monôme?? j'avoue ne pas comprendre ta question...

sinon pour ta piste j'ai essayé d'écrire A^n en fonction des coefficients, on voit bien qu'on fait des sommes produits de coeffs et que si il y en a plus grand que 1 les sommes vont diverger. Mais c'est super lourd à écrire à moins que tu aies en tête un moyen simple de réduire les calculs?

C'est à ça que je pensais, y'a ptet une façon de rédiger qui allège un peu la preuve, mais fondamentalement ça ne change rien.

Sinon je réitère ma question : depuis quand une matrice inversible M vérifie automatiquement M^k = id pour un certain k ? Qu'est-ce qui empêche la suite des puissances de se balader dans Gln(Z) ? Nulle part on n'a supposé que le groupe engendré par M est fini.

Gln(Z) est un espace discret pour la norme max des coeffs donc si la partie <A> est bornée pour cette norme elle est finie.

mieux?

Ou sinon plus simple si on note N la borne des coefficients alors on peut construire un nombre fini de matrices à coefficients positifs < N donc l'ensemble des {A,A²,....} est fini

Pinaise oui, en effet, bien vu.

du coup le début de ma preuve est bonne mais j'arrive pas à conclure. Avec A^k = I on a aussi que A^-1 est un certain A^k ça peut peut être aider

Le fait que A^-1 soit l'un des Ak a pour corollaire le fait qu'elle vérifie aussi la borne, en plus d'avoir un de ses coeffs positifs (détail pas trivial au départ). Mais A*A^-1 vaut l'identité, ce qui doit mener à quelques relations intéressantes.

"on a aussi que A^-1 est un certain A^k ça peut peut être aider"

Ca peut aider grandement même, je crois que j'arrive à conclure super facilement avec ça :

Je note b(ij) les coefs de A^-1, a(ij) ceux de A. D'après ce qu'on a montré a(ij) et b(ij) sont tous positifs.

On doit avoir AA^(-1) = I et si on écrit ce que ça donne sur les coefs de A et A^(-1) on doit avoir a(ik)b(kj)=0 pour tout k et pour tout i et j distincts et a(ik)b(kj)=1 sinon et on en déduit facilement que les a(ik) valent 0 ou 1.

Nos messages se sont croisés, on a eu la même idée!