Yo

des idées pour l'exo suivant?

f est la fonction de [0;1] dans [0;1] qui a 0,a1a2a3a4a5.... associe 0,a1a3a2a5a4....

(la première décimale bouge pas et les autres sont échangées deux à deux)

montrer que f est Riemann-intégrable sur [0;1] et calculer son intégrale

j'ai essayé de passer par des sommes de Riemann sans succès la gueule de la fonction étant pas très maléable...

Up

apparemment la réponse est 1/2 mais no sé por qué...

Pour l'intégrabilité, j'ai pas cherché si ça marchait, mais f semble être une limite assez évidente de fonctions plus simples, toutes involutives.

Vu qu'elles sont involutives (et f aussi), tu as une égalité géométrique qui te dit que pour une fonction f (Riemann-)intégrable, admettant une réciproque intégrable, on a

int(a,b, f(t) dt) + int(f(a), f(b), f-1(t) dt) = ab (un truc dans le genre, ça découle de la symétrie des graphes de f et f-1 par rapport à la première bissectrice). Vu que f est involutive et fixe 0 et 1, le résultat en découle. M'enfin il reste quelques trous dans la démo malgré tout.

Pour l'intégrabilité, elle a l'air d'admettre une limite à gauche et à droite en tout point, donc d'être réglée

Merci Hachino l'approche a l'air intéressante. J'ai compris le coup de la somme des intégrales qui vaut ab par contre je vois pas bien pourquoi f est limite de fonctions involutives.

Pour info j'ai eu la réponse 1/2 dans le bouquin d'analyse réelle de Rudin mais il n'est pas corrigé.

Ils proposent l'énoncé plus général suivant (traduit de l'anglais) :

Soit σ une permutation de N*, on note f : [0,1] -> [0,1] la fonction définie par f(0,A0A1...)=0,Aσ(0)Aσ(1)...

1) Justifier que f est bien définie.

2) Montrer qu'elle est intégrable au sens de Riemann sur [0,1] et que son intégrale y vaut 1/2

Bref j'essaye de réfléchir à partir de tes idées, si tu arrives à combler les trous hésite pas à poster.

tu shuffles et t' y arrives ca pue

Si x=0,a1a2....ai... alors ai=[10^i * x] - 10[10^(i-1) * x]
([...] = partie entiére)

après on écrit f(x)= somme des a sigma_i / 10^i = somme des ([10^sigma_i * x] - 10[10^(sigma_i-1) * x] )/ 10 ^ i et on inverse somme intégrale

j'ai pas fait le calcul mais ca marche

La preuve d'1-tello est très intéressante mais rendre l'inversion somme/intégrale loisible n'est pas évident, on a besoin d'un gros théorème (Dini).

Je pense que l'exercice est résoluble par la simple définition de l'intégrale de Riemann avec des rectangles bien choisis, donc de niveau sup'. Ca reste à voir.