Voilà j'ai un exo que j'ai un peu de mal à réaliser... Si vous avez des idées
Soit (E,d) un espacce métrique.
Soit f : E -> E une application vérifiant :

Pour tout x,y dans E, d(f(x),f(y)) = d(x,y)

Montrer que f est bijective.

f est continue et injective, ça se voit facilement^^

mais t'as pas d'autres infos sur E ou d?

Sans hypothèse supplémentaire le résultat est faux on peut regarder chez des espaces de suites convergentes.

Oui j'ai évidement oublié de préciser que E est compact !

Oui l'injectivité se voit facilement c'est ler este qui pose problème...

f est continue donc l'image de E va être fermée. Une première idée brut serait de trouver une suite de f(E) qui, si ce dernier n'est pas égal à E tout entier, converge vers un élément qui sort de f(E) ce qui serait absurde.

Faire un dessin peut aider.

Bon je pense avoir trouvé, des avis?

Soit F = f(E)
supposons x dans F complémentaire.

alors d(x,F) = inf(d(x,y),y dans F) > 0 car sinon x appartient à l'adhérence de F = F.
Donc il existe c>0, d(x,F)=c

Soit la suite définie par x0=x, et pour tout n, x(n+1)=f(xn)
Pour tout n,m tq n=/=m, d(xn,xm) >= c

Sinon il existe p,q ,p<q et d(xp,xq)<c
or : d(xp,xq) = d(f(x(p-1),x(q-1)) = d(x(p-1),x(q-1))<c par hypothèse sur f. En réitérant p fois on obtient d(x0,x(q-p))<c ce qui est absurde car x(q-p) est dans F. Donc d(xn,xm)>=c pour tout n=/m

or : la suite (xn) est une suite de points de E compact, elle admet une sous suite convergente. On note (yn) cette suite extraite de (xn).

Alors en particulier (yn) est une suite de Cauchy, et on trouve alors deux indices n et m tq d(yn,ym)<c

Or yn et ym sont des termes de la suite (xn) de rangs différents. Contradiction et F complémentaire est vide. Donc f(E)=E et f surjective...

Un problème intervient dès le début : d(x,F) n'a aucune raison d'exister!

Bah F est compact non?

F est un Fermé comme la lettre l'indique . Bien sûr il s'avère être compact et assure l'existence de la distance mais [al_cube] ne semble pas s'être fait cette réflexion.

d(x,F) n'a pas besoin de la notion de compacité pour exister
mais seulement pour dire qu'il existe y dans F tq d(x,F)=d(x,y)

Ca je suis d'accord, il faut entendre "exister" au sens de "est fini"

au sens de "est atteinte"* (on va y arriver)