bjr tout le monde

une question que je me pose : Si j'ai un polynôme a coefficient dans C qui s'annule en deux complexes z et w, est-ce que c'est vrai que sa dérivée s'annule au moins une fois sur l'intervalle [z,w]?

Je pense que oui mais je suis pas sur

je précise que mon polynome a pas d'autres racines que z et w au cas ou

Vu que C* est connexe, ça n'a pas de raison d'être vrai. On a un résultat qui s'en rapproche un peu : les zéros de P' sont tous dans l'enveloppe convexe des zéros de P.

Ah, avec ta précision ça devient nettement plus facile, on peut se psser du théorème Ta condition impose que P se factorise sous la forme P = a*(x-z)^k*(x-w)^l

- Ou bien k (ou l) est >= 2, auquel cas z (ou w) convient,
- Ou bien k=l=1, auquel cas on a un bête polynôme de degré 2 et t = (w+z)/2 convient (dérive ton polynôme, tu verras)

Hachino c'est quoi que tu appelles l'enveloppe convexe??

Le plus petit ensemble convexe contenant un ensemble donné. Dans le cas d'un ensemble fini de points, cette enveloppe est le polygone dont les points sont les sommets.

pour ton nouveau message c'est ok mais en fait je voudrais une racine dans l'intervalle ouvert ]z,w[ donc z ou w ne conviennent pas

mais en fait avec la forme de P en puissances k et l quand on dérive on a immédiatement la solution de la dérivée mais je suis pas sur de pouvoir justifier qu'elle est dans ]z,w[

donc si on a que 2 points l'enveloppe convexe c le segment qui les relie? donc mon truc c un cas particulier de ton thrm?

Waip, c'est un cas particulier. Et en fait, pour tout choix de puissance k,l on a une solution explicite.

Il y a une façon plus pratique d'écrire la dérivée d'un polynôme une fois sous forme factorisée : ici, on a P = a*(x-z)^k*(x-w)^l et P' = k*P/(X-z) + l*P/(X-w) = P*( k/(X-z) + l/(X-w) )

P ne compte pas ici, vu qu'il ne s'annule pas entre t et w. En posant X = t*z+(1-t)*w, l'unique racine possible entre w et z (strictement cette fois) est obtenue pour t = l/(k+l). Si k=l=1, on retombe sur (w+z)/2.

c parfaitement clair!

merci Hachino