Bonjour! Je dois utiliser le théorème de la convergence dominée pour étudier l'existence de l'intégrale de 0 à +inf de ncos(t)/[1+n^2t^2]
Mon seul problème se trouve dans la recherche d'une fonction de t indépendante de n supérieure en valeur absolue à la dite fonction, qui soit continue par morceau et... INTEGRABLE sur ]o,+inf [ ! J'ai trouvé 1/t^2 mais évidemment elle ne l'est que sur ]1,+inf[

Si qq'un pouvait m'aider, ce serait gentil !

help :'(

sur ]0,1[ tu as :

n.cos(t)/(1 + n²t²) <= n/(1+n²t²)

Sauf erreur :
f(n) = n/(1+n²t²), f(0) = 0, f -> 0 en l'infini et le maximum est atteint pour n = 1/racine(t)
Donc f(n) <= 1/racine(t)(1+t³) pour tout n.

C'est une bonne fonction de domination sur ]0,1[!!

euh non j'ai fait une grossière erreur ça marche pas -__- le max est 1/t

en fait ça a même l'air d'être un cas où tu peux PAS utiliser la convergence dominée et où la limite de l'intégrale n'est pas l'intégrale de la limite

Et on ne peut pas majorer par 1/(1+t^2) ?
En fait l'exo est fait exprès pour illustrer la convergence dominée normalement c'est pourquoi j'insiste haha ^^
Merci à toi en toi en tout cas de me répondre !

Pose u = nt, ton intégrale est égale à int(0,inf, cos(u/n)/(1+u²) du). Miracle.

hachino ouai mais c'est pas ce qu'on lui demande!!

Ben... désolée, en fait c'est la question d'après donc j'imagine que je ne dois pas l'anticiper
Mais peut-être que j'ai aussi mal compris la question : on me demande d'étudier l'existence, ça veut dire quoi au juste ?...

Je précise que j'ai fait cette question quand même, en posant ça ne devient plus très compliqué (bien joué d'avoir trouvé ça comme ça d'ailleurs...)

Bah c'est très con parce que du coup l'utilisation de la CV dominée devient nettement plus facile.

Et d'ailleurs tu pas pouvoir utilise la CV dominée avec ton intégrale, vu que la valeur en 0 a la sale manie de tendre vers +inf.

Ah mais si c'est l'existence c'est tout con, c'est une autre façon de dire "prouver que ce truc est intégrable".

Ah d'accord !! Ok donc c'était bien un problème de compréhension merci
En d'autres termes la fonction en valeur absolue converge vers la fonction nulle sur I donc je peux affirmer qu'elle est intégrable... ?

"En d'autres termes la fonction en valeur absolue converge vers la fonction nulle sur I donc je peux affirmer qu'elle est intégrable... ?"

Ça ça ne veut strictement rien dire. Une fonction converge vers un réel en un point (ou à l'infini), une suite de fonctions converge vers une autre fonction sur un intervalle.

Pour prouver l'intégrabilité, t'as juste à dire qu'elle est continue et qu'elle est, à n fixé,un O(t^(-2)) qui est connu pour être intégrable.

Pour l'existence suffit de dire que l'intégrande est majoré en valeur absolue par n/(1+n²t²), et pour tout n, l'intégrale de n/(1+n²t²) converge.

Euh en effet excuse moi c'est carrément n'importe quoi, je voulais parler de la suite de fonction qui converge sur I vers la fonction nulle.
Mais je crois qu'effectivement ça ne prouve rien au final ... Je mélange pas mal de trucs faut croire.

Merci pour vos réponses en tout cas. Par contre je n'ai jamais travaillé avec des O(1/t^2) en ce qui concerne les intégrales, seulement avec des o... Donc je ne vois pas trop du coup.

J'ai fait finalement avec ce que tu m'as indiqué Prauron, à première vue je ne voyais pas pourquoi elle convergeait mais en fait c'est tout bête sachant que n est fixé.
Encore merci ! Bonne soirée à vous