jai trouvé l'exercice de mon image dans un livre de MPSI, est-ce que mon raisonnement est bon?

Ma solution :

pour tout t entre 0 et pi/2 strictement |sin(t)| < 1 donc sin^n(t) -> 0 quand n-> plus l'infini

donc l'intégrale tend vers l'intégrale de 0 entre 0 et pi/2 donc tend vers 0

mon seul soucis c'est la borne pi/2 je sais qu'on peut dire que c'est comme si elle n'était pas là parce qu'on peut retirer un point du domaine d'intégration sans changer l'intégrale mais je ne sais pas l'écrire correctement.

en gros ce que tu utilises là c'est le théorème le plus important de l'intégration ça s'appelle le théorème de convergence dominée...

Pour tout x€[0,pi/2] on a: 0=<sin(x)<=x d'où 0<=(sin(x))^n<=x^n donc 0<= l'intégrale <= (pi/2)/(n+1)
Et avec le théorème des gendarmes c'est fini

a quel moment j'utilise ce théorème? Et il est niveau sup??

logical comment t'obtiens (pi/2)/(n+1) ?

Non j'ai rien dit, j'ai viré un ^n

On a 0<=intégrale<=(pi/2)/(n+1)
Donc : lim(0)<=lim(intégrale)<=lim(pi/2)/(n+1)
Donc lim(intégrale)=0 et oui le théorème des gendarmes est niveau sup!

une méthode niveau sup : tu prends e > 0, tu sépares l'intégrale en 2 de 0 à 1-e et de e à 1.

L'intégrale est plus petite alors que sin(e)^n + e <= 2e pour n assez grand

^(n+1)*

Ah ouais c'est bien ce que je me disais, il manque un ^n donc ça te mène à rien...

iv555 tu veux pas dire de 0 à e et de e à 1? Si oui je prends qui pour e ?

pardon ça donne sin(1-e)^n + e...

ben tu prends rien pour e (il est juste dans ]0,1[), mon raiso montre que ça tend vers 0...

j'essaye et je trouve :

int sur [0;pi/2] = int sur [0 ; e] + int sur [e ; pi/2]

et par majorant je trouve que l'intégrale sur [0 ; pi/2 ] est <= pi/2 sin^n(e)+pi/2-e

comment je conclus avec ca?

Vaut mieux partir de 0 à pi/2 - e et de pi/2 - e à pi/2 c'est plus propre

En faisant tendre e vers 0

dis moi si c'est bon

a partir de <= pi/2 sin^n(e)+pi/2-e je prends n->+ l'infini et donc la limite de l'intégrale est <= pi/2 - e pour tout e dans [0;pi/2] donc elle vaut 0?

c'est ok?

c'est dit de façon très moche mais c'est l'idée...

et là c'est pour tout e dans ]0,pi/2]

qu'est-ce qui est mal dit??

plus proprement :

Pour tout e dans ]0;pi/2[, pi/2 sin^n(e) tend vers 0

donc le majorant de l'intégrale tend vers pi/2 - e.

donc si l est la limite de l'intégrale on a 0 < l < pi/2 - e pour tout e dans ] 0 ; pi/2 [ donc l = 0 (car si |x| < e pour tout e positif alors x=0)