des idées pour l'exercice suivant ?

f(n) est une suite définie par f(0)=5 et f(n+1)=[(f(n))²+1]/f(n)

montrer que f(1000) > 45

jpense pas que c la solution attendu

f(n+1) = f(n)+ 1/f(n)
Tu montres que f(n)>0 donc 1/f(n) aussi donc f(n+1)>f(n).
Puis tu calcules f(2) voir f(3) tu dis qu'il est > 45 et c'est bon.

J'ai rien dit

Tu calcules les 1000 premiers termes

j'ai essayé de chercher un minorant de f en fonction de n qui atteint la valeur 45 en 1000 mais je trouve pas

exploite la suite auxiliaire u(n)=(f(n))². On obtient facilement u(n+1) > u(n)+2 et la conclusion est immédiate.

Joli !

moi jtrouve pas ca joli (c'est pas contre toi Klaus) elle vient d'où la suite auxiliaire? Jaime pas les exerices avec des objets auxiliaires qui sortent de nulle part.

Klaus avait surement déjà rencontré l'exercice. C'est vrai que dans ce genre de situation si on a pas d'indication avec l'énoncé qui nous donne cette suite auxiliaire faut se lever tôt pour la trouver.

J'aime pas non plus les exercices où une des seules possibilités de résolution est d'être dans la tête de l'auteur.

En même temps c'est des olympiades, faut chercher, c'est pas un simple DS

une idée en mathématique ne provient jamais de nulle part...

f(n+1)=f(n)+1/f(n) se réécrit f(n+1)-f(n)=1/f(n)

la transposition de ce problème dans le domaine du continu conduit à la résolution de l'équation différentielle y'=1/y dont la solution pour y(0)=5 est donnée par x->V(25+2x)

Il est alors assez naturel d'essayer de voir si le comportement des solutions du problème discret est identique à celles du problème continu, ce qui conduit donc à se dire que f(n) va se comporter comme V(25+2n) et à étudier des suites auxiliaires du type [f(n)-V(25+2n)], ce qui fondamentalement revient à se poser des questions sur [f(n)]²

Mais comme un magicien ne dévoile pas ses tours pour laisser le mystère au spectateur, un mathématicien ne dévoile pas toujours ses astuces surtout lorsqu'elles ont l'air de provenir d'un physicien.

a voila maintenant c joli lol!

merci klaus je retiens le coup du discret au continue