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Posté le 9 novembre 2013 à 19:58:17 Avertir un administrateur
Salut tous le monde,j'ai un exo de maths mais je n'y arrive pas.
Pourriez-vous me donner des tuyaux pour que ce soit plus clair(surtout la partie B)?

Quel est le problème?

difficile :rore:

Omg hardcore.

J'ai l'impression que y a une erreur d'énoncé : l'implication de sens indirect de la question 1 me semble fausse. wolfram dit la même chose. Quelqu'un peut confirmer?

Oui, il me semble aussi

pour ceux qui reconnaissent : on s'aperçoit que c'est l'equation d'un cercle : de centre (0,1) et de rayon 1

la réciproque nous place dans le quart de plan : R+ x R+, dans ce plan "le cercle" devient un demi cercle (et mal positionner ici), et on trouve que pour une abscisse x on obtient 2 ordonnées possibles pour y
ce qui est absurde pour retrouver y=f(x) ...

je pense que l'énoncé voulait préciser y =< 1, après peut-être qu'il voulait même préciser : 0=< y =< 1, pour éviter une petite complication ici

ah bah on te le dit à la question 2 en plus que c'est l'équation d'un cercle ...

sinon pour l'auteur, en rectifiant l'erreur d'énoncé la question 1 devient plus facile

l'implication se fait sans trop de soucis, juste se souvenir que M(x,y) est sur la courbe ssi y=f(x) et x appartient au domaine de définition de f

Je suis parvenu à réussir et ça m'a pris plus d'une 1/2 heure :

Partie A:
1)

Si M(x,y) appartient à Cf alors
y = f(x)
donc x>=0 car f est définie sur [0;1]
De plus 1-x^2 =< 1 donc V(1-x^2) =< 1 car la fonction racine carré est croissante sur R+
On a donc f(x) = 1-V(1-x^2) >=0 donc y positif

x^2 + (y-1)^2 = x^2 + (V(1-x^2))^2 = x^2 + 1 - x^2 car 1-x^2>=0
= 1

Par contre j'ai un problème pour l'autre implication :
Si x>=0, y>=0 et x^2 + (y-1)^2 = 1
alors (y-1)^2 = 1 - x^2
soit y-1 = + ou - V(1-x^2)
cad y = 1 + ou - V(1-x^2) = f(x)

2)
x^2 + (y-1)^2 = 1
donc (x,y) sont sur le cercle de centre (0,1) et de rayon 1.
Cependant, x>=0 donc (x,y) ne peuvent pas être sur la moitié du cercle et y=<1 donc (x,y) ne peuvent être que sur le quart restant.

3)
La zone comprise entre les droites d'équations x=0, y=0, x=1 et y=1 est un carré de côté 1 et a donc pour aire 1.

La zone non coloriée à l'intérieur représente, d'après la question 2, le quart de cercle du cercle de rayon 1 et de centre (0,1).
L'aire de cette zone est donc Pi *1/4 = Pi/4

Ainsi, la zone coloriée a pour aire 1 - Pi/4.

Partie B:
1)
On va calculer l'aire du rectangle OHMP.
OH = x car H est le projeté de M d'abscisse x sur l'axe des abscisses et MH = f(x) pour la même raison

On veut donc
xf(x) = 1-Pi/4
cad x(1-V(1-x^2)) = (1-Pi/4)
ce qui équivaut à -xV(1-x^2) = (1-Pi/4 - x)
cad à xV(1-x^2) = (x-1+Pi/4)
ce qui équivaut à x^2(1-x^2) = (x-1+Pi/4)^2
car x^2(1-x^2) >=0 et (x-1+Pi/4)^2>=0

2)
a)
Soit x appartenant à [0;1]
g est une fonction polynomiale donc est deux fois dérivable sur [0;1]
g'(x) = -3x^3 + 2-Pi/2
g(x) = -6x^2 <=0 sur [0,1]
g(x) <0 sur ]0;1] de plus
g' est donc décroissante sur [0,1] et
g'(0) = 2 - Pi/2 >0
g'(1) = -1 - Pi/2 <0

g' est continue sur ]0;1] et est strictement décroissante sur ]0;1] donc d'après le théorème de la bijection, il existe
un unique a appartenant à ]0;1] tel que g'(x0) = 0
De plus, puisque g'(0) =/=0, on a un unique a dans [0;1]

b)
g'(0) >0
g'(x0) = 0
g'(1) <0
g' est continue donc g' est positive sur [0;x0] et négative sur [x0;1]

Par conséquent g est croissante sur [0;x0] et est décroissante sur [x0,1]

c)
g(0) = (1-Pi/4)^2 >0
g(1) = -1 + (2-Pi/2) + (1-Pi/4)^2 = 1 - Pi/2 + 1 - Pi/2 + Pi^2/16 = 2 - Pi + Pi^2/16 < 2 - Pi + 1/4 < 0

g est croissante sur [0,x0] donc pour x dans [0,x0] on a g(x) >= g(0) >0

g est strictement décroissante sur ]x0;1]
g(x0) >=g(0) >0
g(1) <0
g est continue sur ]x0;1]

Par conséquent, d'après le théorème de la bijection, il existe un unique alpha appartenant à ]x0;1] tel que g(alpha) = 0

On en déduit qu'il existe un unique alpha appartenant à [0;1] tel que g(alpha) = 1

J'ai pas trouvé la valeur approchée.
3)
Il existe une unique valeur alpha sur [0;1] tel que g(alpha)=0
or g(alpha) = 0 équivaut x^(1-x^2) = (x-1+Pi/4)^2 ce qui équivaut à A(x) = A

1) il y a une erreur d'énoncé, c'est : 0=<y=<1 ou même juste y=<1

2) ton raisonnement dit qu'il appartient pas à un demi cercle, et tu dis donc qu'il appartient au quart de cercle (parce que soit disant y=<1 que tu ne sais à priori pas d'après l'énoncé, et rien ne te le prouve sauf l'erreur d'énoncé, donc il faudrait remontrer la question 1) avec y=<1 : car justement si on impose y=<1 tu élimines 1 demi cercle avec les x, et un quart de cercle avec les y d'où le dernier quart

3)

oui n'oublie pas de préciser la formule de l'air d'un cercle, et de simplifier 1- pi/4

partie B :

1) tu dis : xf(x) = 1-Pi/4
cad x(1-V(1-x^2)) = (1-Pi/4)
ce qui équivaut à -xV(1-x^2) = (1-Pi/4 - x)
cad à xV(1-x^2) = (x-1+Pi/4)
ce qui équivaut à x^2(1-x^2) = (x-1+Pi/4)^2
car x^2(1-x^2) >=0 et (x-1+Pi/4)^2>=0

ta dernière justification ne tiens pas la route : je m'explique

(-3)² >=0
racine de (-3)²= 3 =/= -3

il faut juste préciser que x positif, 1-x² positif et ces deux expressions ne peuvent être négative en même temps car justement x est positif ! et quon a x=<1 ce qui implique aussi que 1-x² est toujours positif (attention ici j'ai beaucoup trop rédigé, je t'ai explique de manière générale ce qu'on vérifie, mais il suffit de dire que c'est juste parce que x est entre 0 et 1 donc x et 1-x² sont positifs
et de même pour x-1+pi/4

2.
a)

a)
"Soit x appartenant à [0;1]
g est une fonction polynomiale donc est deux fois dérivable sur [0;1]
g'(x) = -3x^3 + 2-Pi/2 "

-> erreur au -3 (c'est -4)

"g(x) = -6x^2 <=0 sur [0,1] -> ton erreur se répercute ici mais rien de méchant !
g(x) <0 sur ]0;1] de plus "

ok

"g' est donc décroissante sur [0,1] et
g'(0) = 2 - Pi/2 >0
g'(1) = -1 - Pi/2 <0 "

oui, j'ai pas vérifier les calculs mais ca à l'air cohérent

"g' est continue sur ]0;1] et est strictement décroissante sur ]0;1] donc d'après le théorème de la bijection, il existe
un unique a appartenant à ]0;1] tel que g'(x0) = 0
De plus, puisque g'(0) =/=0, on a un unique a dans [0;1] "

c'est un unique x0, mais rien de grave encore, n'oublies pas de préciser que 0 appartient à l'image, bien que tu l'as prouvé au dessus, il faut le redire ! et pourquoi te limite tu as l'intervalle ]0;1] dans ta preuve au début ? tu ne peux pas directement faire sur [0;1] ?

b)
"g'(0) >0
g'(x0) = 0
g'(1) <0
g' est continue donc g' est positive sur [0;x0] et négative sur [x0;1] "

oui

"Par conséquent g est croissante sur [0;x0] et est décroissante sur [x0,1]"

ok

c)
"g(0) = (1-Pi/4)^2 >0
g(1) = -1 + (2-Pi/2) + (1-Pi/4)^2 = 1 - Pi/2 + 1 - Pi/2 + Pi^2/16 = 2 - Pi + Pi^2/16 < 2 - Pi + 1/4 < 0 "

essaie de simplifier un peu tes calculs, car la comme ça on voit rien, et ce sera pas à ton prof de faire l'effort d'observer que tu as bien vu, ou si c'était du bluff etc...

"g est croissante sur [0,x0] donc pour x dans [0,x0] on a g(x) >= g(0) >0

g est strictement décroissante sur ]x0;1]
g(x0) >=g(0) >0
g(1) <0
g est continue sur ]x0;1]

Par conséquent, d'après le théorème de la bijection, il existe un unique alpha appartenant à ]x0;1] tel que g(alpha) = 0

On en déduit qu'il existe un unique alpha appartenant à [0;1] tel que g(alpha) = 1 "

je pense que ton professeur apprécierais lors de ta conclusion que tu rappelles pourquoi ce n'est pas possible sur [0;x0], mais peut-etre que je me trompe, en tout cas ton idée me parrait juste

J'ai pas trouvé la valeur approchée.

une calculatrice t'aidera : tu peux lire sur le graphe une valeur approchée il me semble, je suis pas doué avec une calculatrice, je m'en suis pas servit depuis qq années, mais je sais qu'il est possible de l'avoir avec et sans que ce soit trop compliqué

3)
Il existe une unique valeur alpha sur [0;1] tel que g(alpha)=0
or g(alpha) = 0 équivaut x^(1-x^2) = (x-1+Pi/4)^2 ce qui équivaut à A(x) = A

oui, mais pense à détailler les calculs de : "g(alpha) = 0 équivaut x^(1-x^2) = (x-1+Pi/4)^2" sans oublier de rajouter dans "x^(1-x^2) = (x-1+Pi/4)^2" le fait que alpha est l'unique solution dans [0;1] !!!

donc en gros tu dis

g(alpha) = 0 équivaut à : alpha est l'unique solution sur [0,1] de l'équation x^(1-x^2) = (x-1+Pi/4)^2, par tout ce qui précède, ou juste parler que les equation g(x)=0 et bidule =0 sont équivalentes sur le bon intervalle, cependant ne pas oublier les étapes de calculs (juste développer ...)

sinon ca ne veut rien dire ce que tu as dit, tu comprends l'erreur ? tu dis un nombre vaut zéro dépendant de alpha ssi un autre nombre ne dependant pas de alpha vaut 0

"or g(alpha) = 0 équivaut x^(1-x^2) = (x-1+Pi/4)^2 ce qui équivaut à A(x) = A " n'oublie pas de préciser d'où vient la dernière équivalence ! tu es censé la justifier ! bon ici ca va vite cf question bidule, mais faut l'écrire

dans l'ensemble cela me parrait juste, malgré quelques petites erreurs, mais on voit que tu as bien compris ce que tu faisais, c'est déjà ça, reste à améliorer redaction et compréhension des objets que tu manipules : nombre/équation/solution d'equation,

sinon, si ceci est un dm applique toi sur les points que j'ai énoncé

tu as de très bonne chose, tu as pris l'initiative de dérivée une seconde fois (je sais pas si c'est nécessaire, je connais pas vos outils) et ce sera apprécié par le prof, car de manière générale, les élèves ne prennent aucune initiative !

applique toi sur les justifications, n'hésite surtout pas à rappeler pourquoi tu as dit ça, (soit disant que tu l'ai montré précédemment) le prof n'est pas censé savoir que tu as réellement compris le truc, il faut donc repréciser pourquoi tu dis certaines choses, si tu l'as dit genre 7-8 lignes plus haut, ca te prend qu'une petite ligne et ca te permet de pas perdre de points bêtement

et attention aux équivalences !!! ce ne sont que des problèmes de logique et il faut bien comprendre comment ca marche !! tu risques de perdre des points la dessus, si tu n'es pas au point, n'en fait pas et fait que des implications, ce qui est vivement conseillé au niveau terminale, et même bac+1 vu ce que j'ai déjà pu voir

bon courage pour la suite !