jai conjecturé le résultat suivant:

n est un entier

je note Cn={p premier tel que n est un carré modulo p} alors si C est infini n est un carré parfait

Vous avez une preuve ou un contrexemple?

déjà ca ne fonctionne pas sur tous les entiers
mais seulement les entiers naturels, il me semble que -1 est un carré modulo p pour une infinité de p (il suffit que p soit congru à 1 modulo 4), et il existe une infinité de nombre premier de la forme 4k+1

pour n entiers naturel

2 est un carré modulo 2, 7, 17, 23,31, 41, 71, 79, 89,97

bref, j'ai testé assea vaguement sur les 25 premiers nombres premiers ! (j'ai pas tout réellement tester, mon test peut-être faux à des nombres premiers supérieurs à 29, car je n'ai pas calculer les carrés à partir de 29... donc ca en fait un paquet non vérifier totalement parce que il y a un certains nombres entre 29 et 96 ....

donc admettons que j'en ai oublié que 2, donc on a déjà la "moitié" des 25 premiers nombre premiers qui marchent pour 2

on pourrait peut-être conjecturer qu'il y en a une infinité ?
or 2 n'est pas un carré parfait

qu'est ce qui t'a amené à cette conjecture ?

jai montré dans un exercice qu'un entier (naturel) qui est un carré modulo tous les nombres premiers était un carré parfait et j'ai conjecturé qu'on pouvait réduire "tous les nombres premiers" à "une infinité de nombres premiers" mais jai pas d'arguments pour croire que la conjecture est vrai

par contre tu as la réciproque
soit x un carré parfait, alors c'est aussi un carré parfait modulo p pour une infinité de p (trivial suffit de prendre p supérieur à x ;) )

c'est trop faible, c'est un carré parfait modulo TOUS les nombres premiers : x²=x²[p]

faible ou non, je te disais juste que pour ta conjecture, tu as avais la réciproque, donc que tu aurais pu reformuler ta conjecture avec une équivalence

mais effectivement, je pense pas que ta conjecture soit bonne, après pour démontrer que c'est faux, comme ça je vois pas, je me suis contenter de regarder sur un possible contre exemple qui est 2

donc j'ai rechercher k tel que 2+kp = un carré, jai exhiber la liste que je t'ai dit précédemment, et comme je n'ai pas pu tout réellement vérifier, car c'est long à la main, j'ai mis les cas "triviaux" et on voit qu'on arrive déjà à 10 en regardant vaguement les 25 premiers nombres premiers, donc ça pourrait laisser penser qu'il en existe une infinité

je sais que la réciproque est vraie mais comme elle est triviale ça sert à rien de le dire

c'est un peu comme si je faisais un topic pour demander pourquoi tout nombre positif a une racine carrée dans R, on va pas venir me dire que "la réciproque est vraie : toute racine carrée est positive" ca serait bête

enfin interprete pas mal mes propos jdis pas ca pour être blessant juste que jai pas parlé de la réciproque pcq elle est évidente et ne méritait pas d'être mentionné

jte remercie de te pencher sur mon probleme

et je suis d'accord avec ton exemple de 2 que ma conjecture est surement fausse.

alors je conjecture le contraire tout nombre entier naturel est un carré modulo un nombre infini de nombre premier

Bonjour à tous

la dernière conjecture me semble exacte

Pour 2 (et généralisable à tout entier) : on montre facilement que l'ensemble des diviseurs premiers de n²-2 lorsque n décrit N est infini, or chacun de ces diviseurs premiers est un carré modulo 2.

lire "or 2 est un carré modulo chacun de ces diviseurs premiers"

non mais je suis d'accord, au début je l'ai dit au cas où tu ne l'avais pas remarqué, c'est comme dans le grand théorème de fermat, souvent on ne mentionne même pas : sauf solution triviale ... etc...

celle conjecture me parrait moins fausse, et plus abordable

cependant mal formulée, mais on te comprends, en lisant tout le topic

soit n entier naturel

n est un carré modulo p (p premier) ssi il existe k et l entier tq :
n=k²+lp

il suffit de s'interesser à p tq p>n, car si p<n, (il en existe qu'un nombre fini ce qui ne servira pas ici et de plus on se ramènera un autre cas différent de n (plus précisemment au reste de la division euclidienne de n par p) ))

on s'intéresse donc aussi aux racines de Z/pZ du polynome : X²-n et on essaie de voir si ce polynome admet une racine pour une infinité de p

en gros on essaie de voir si pour une infinité de p, ce polynome est-il réductible ?
peut-on tenter de s'intéresser aux symboles de legendre avec la loi de réciprocité quadratique pour résoudre ce problème ? pourrait-on même exprimer une forme pour p ? donc pourquoi pas étudier le cas général ou p n'est pas forcément premier et voir la forme de p si il y a et montrer que c'est forme décrit un nombre infini de nombres premiers ?

j'expose des idées qui me viennent à l'esprit
après je ne sais pas du tout si tu es au point avec polynome irreductible, corps fini, loi de réciprocité quadratique, etc... en bref la théorie des nombres

ton problème à priori m'intéresse, mais je n'ai malheureusement pas trop de le temps d'y réfléchir plus profondément, je te propose des pistes de réflexions, peut-être que cela peut se résoudre trivialement ... auquel cas, je serais passé à côté de quelque chose

oui Klaus, j'ai tenté de justifier ce raisonnement avec des polynômes, pour avoir un peu plus de théorie la dessus (et aussi parce que je suis formater agreg en ce moment ... et jviens de me bouffer 3 semaines de corps finis, theorie des corps, polynômes irréductibles ...) cependant, le facilement m'intrigue, cela est certes logique, mais il faut tenter de justifier que cette fonction carré (moins un certains entiers naturels) n'implique pas une certaines "redondance"

et sans introduire des notions un peu plus sophistiqués, j'ai l'impression que c'est bien bourrin, ou alors je passe à côté de quelque chose

même type de raisonnement que pour montrer l'infini de nombre premier :

On suppose que l'ensemble D des diviseurs premiers de n²-2 lorsque n décrit N est fini et on note P le produit de ses éléments, regarder alors les diviseurs premiers de (2P)²-2, il y en a forcément un qui n'est pas dans D ce qui n'est pas possible.

oui cela me semble juste !
je suis effectivement passé à côté de cette chose plus "élémentaire" (dans le sens où c'est un raisonnement qui me parrait classique quand on essaie de montrer l'infinité de diviseurs)

On a donc pas besoin d'aller piocher dans une théorie plus complexe, c'est bon à savoir, et cela peut donc faire office d'exercices plutôt sympa à donner a des prépa 1ere année, en terminale s spé maths ca me parrait juste, car ils ont souvent du mal avec la preuve de l'infinité de nombre premiers
ou alors donner quelques questions intermédiaires !

Merci, ca me donne des idées ! actuellement j'ai un élève de prépa qui bosse un peu sur l'arithmétique, et qui a un peu de mal avec, je vais peut-être tenter d'en faire un petit exercice sympa la dessus, notamment avec le th de Wilson, mais bon il en existe tellement !

merci à tous les deux je vais lire tout ca