j'ai plein d'exercices du genre, mais j'ai besoin de la méga astuce pour les résoudre, c'est la ou je viens demander votre aide ,trouvez toutes les fonctions f de R a R\{0;1} tel que :

f(1-(1/x))+f(x)=(1/x)-x+1

tu poses g(x)=f(x)+x

g(1-1/x)+g(x)=2

déja ca a l'air plus simple a résoudre

oui mais comment faire pour avoir ce genre de réflexion pour chaque exercice (une sorte de règle, astuce ... )

je sais pas la jai juste changé les termes de membre et ca a fait apparaitre le truc c'était pas compliqué

en fait on pose g(x)=f(x)+x-1 alors g(1-1/x)=-g(x)

oui c'est pour ça que j'ai besoin de la technique, il en existe de très difficiles

oui mais c comme les équations en des variables numériques on a pas de raison davoir une méthode qui marcherait pour toute a mon avis

donc d'une façon générale : quelle façon t'as suivi pour trouver les fonctions possibles?

jai rien trouvé encore jai juste réécrie l'équation

a partir de g(1-1/x)=g(x) pour continuer je voulais itérer mais la suite x, 1-1/x, 1-1/(1-1/x), ... converge pour aucun x et toute façon on sait pas si g est continue ou non

j'ai besoin d'aide svp

KOM ON BWA DU T A 19H

désolé du triple post

j'ai raté de forum

désolé du 4eme post mais toujours personne?

hachino

personne ne peut résoudre une équation fonctionnelle?

Il n'y a pas de méthode particulière pour résoudre les équations fonctionnelles.
Ca dépend de leur gueule. Parfois, il est facile de déterminer f(0) et f(1) et ça aide. La c'est pas trop le cas.
Mais bon, ce sont des exercices "pathologiques".

Après, il faut analyser les hypothèses.
Là, on ne sait même pas si elle est continue. Par contre, on sait qu'elle est définie de R (or, on peut supposer que c'est une fraction rationnelle, mais valable pour tout x, du carré au dénominateur ?) sur R\{0,1}. Donc pour tout x, f(x) =/= 0 et =/= 1.
Ca peut être un moyen d'intuiter la solution, mais sans hypothèse de continuité, ça risque d'être compliqué.

f:x -> 1 - x est une solution de cette équation fonctionnelle.

c'est vraiment la galère s'il n'y a pas de technique

Bon, embryon de réponse :
f : x -> 1 - x est une solution particulière.
On pose g : x -> f(x) + h(x) ; h fonction quelconque telle que g est solution de l'équation fonctionnelle.

Alors, en injectant, h(1-1/x) = -h(x)
Après quelques calculs, on trouve h(1/x) = -h(x)
Si h et constante, h = 0.
Sinon, supp h non constante. Les solutions continues non constantes de cette équation fonctionnelle sont les fonctions a*lnx (je te laisse le montrer)...
Mais les fonctions a*lnx ne sont pas solutions de h(1-1/x) = -h(x)
Donc h est forcément constante. Donc h = 0.

Donc f : x -> 1 - x est la seule fonction continue telle que f(1-1/x) + f(x) = 1/x - x +1.

Bon, j'ai pas déterminé toutes les fonctions solutions, que les continues. Mais je pense que ça suffit.
(j'ai peut-être fait une erreur, mais je crois pas)