Bonsoir, voila j'ai des probleme en analyse, sur la différentiabilité, ouais c'est un vilain mot

en gros la fonction, on va faire simple pour que je puisse bien comprendre parce que j'ai bau chercher sur le net, aucun exemple net et concret

f(x,y) = xy /(x+y)

voila donc la différentiabilité en (x0,y0) = (0,0) par exemple c'est quoi la methode a suivre ?

merki

deja on calcule les derivés partielles je suppose, on s'assure qu'elles existent par la definition, on en deduit que la fonction est au moins de classe C1 ou ca sert a rien ?

Ya pas un bete de guerre en maths qui traine pour me filer un coup de main ?

Bonsoir,

tu as normalement des théorèmes dans le cours pour régler ce genre de chose. En particulier un théorème qui permet de déduire la différentiabilité à partir d'une propriété de régularité des dérivées partielles. Laquelle?

Les theoremes me parlent d'application lineaires et sont assez mal explicités je trouve

http://math.univ-lille1.fr/~flaminio/M403/2009-2010/chap1.pdf

oui les dérivées partielles C1 ca implique la différentiabilité c a la page 19 dans ton polycopié

klaus si tu es là jai un probleme de fonction continue que jai mis dans un nouveau topic si tu peux y jeter un oeil merci

Merci 1-Tello, mais je crois que c'est la fonction f qui est de classe C1 si deriv partielles existent, donc si f de classe c1 et df/dx (0,0) existe et df/dy(0,0) existe alors f differentiable en (0,0)

ou je me trompe ?

oui classe C1 ca veut dire différentiable et la différentielle continue donc c encore plus fort

merci

Peut-être que tu confonds aussi différentiable et dérivable. Si les dérivées partielles df/dx et df/dy existent, cela veut dire que c'est dérivable et non pas différentiable. Pour que f soit différentiable, il faut que cela satisfasse l'équation 1.1 de ton polycopié. Et ta différentielle sera la fonction R_f.

Après j'avoue que dans ton polycopié, ce n'est pas très clair.

ca veut rien dire dérivable pour une fonction de plus de deux variables, escroc!!

On est d'accord que le concept de dérivable n'a peu de sens dans R^2 et qu'il faut utiliser différentiable. La définition que j'ai vue qu'une fonction est dite dérivable si toutes les dérivées partielles existent. Mais ces fonctions là n'ont pas beaucoup d'intérêt et parfois les auteurs n'introduisent pas cette notion. Du moins c'est comme ça que je l'ai compris. A partir d'un certain moment, seule la notion de différentiable est importante.

ok mais dans tous les cas on a bien "si les dérivées partielles sont continues alors la fonction est différentiable"

et la différentielle est même continue

Non, la fonction f(x,y)=xy/(x^2+y^2) si (x,y)=/=0 et f(0,0)=0 est continuement dérivable en chacune des variables, mais n'est pas différentiable. D'où l'intérêt de différentiable, car alors f diff. implique f continue (ce qui n'est pas vrai pour dérivable). Mais je pense que cette discussion ne fait qu'embrouiller l'auteur.

http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./d/differentiable.html

je cite :

"Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn à valeurs dans Rp. Si toutes les dérivées partielles de f existent sur U et si elles sont continues en un point a de U, alors f est différentiable en a et on a"

donc c toi qui embrouille!!

je confirme le théorème cité par 1-Tello.

Par contre dès que les dérivées partielles ne sont plus C1 on ne peut plus rien dire quant à la différentiabilité et on sera souvent obligé d'aller chercher la différentielle à la main.

Hum dans ce cas, je ne comprends pas mon exemple. df/dx et df/dy existent et sont bien continues. Après il y a peut être une ambiguité sur toutes les dérivées partielles existent. Si on suppose que pour tout y fixé, df/dx(x,y) existe et est continu, le théorème est vrai. Par contre si y dépend de x, cela devient faux à mon avis. Cela dépendra de la définition de "toutes" sur le site.

Par contre, il faut dire que je n'ai jamais été totalement au point sur ce sujet

Si f diff en (0,0), alors f derivable en (0,0) selon tout vecteur h, ici h appartient a R²

en gros f(x,y)=f(0,0)+l(th)+O(h) (d'apres le theoreme)
l appartenant a l'ensemble des appli linaires

f(0,0) = 0

et l(th)= t.l(h)

l(h) = lim (1/t)(f(0,0)+t(h1,h2))-f(0,0)
t->0

= lim (1/t)f(th1,th2)
t->0

on obtient l'appli lineaire et si la limite lorsque t tend vers 0 est un entier a f differentiable

http://mp.cpgedupuydelome.fr/cours.php?id=9097&idPartie=40994