Suite à une demande je pose mon énoncé précis :
Soit la fonction f définie sur R par :
f(x) = 0.1x^4 - 0.2x^3 - 0.6x^2 + 1.7x - 0.5
et C sa courbe représentative.

1) Déterminer les coordonnées des points de C qui admettent des tangentes horizontales. On donnera les résultats à 10^-3 près.

2) Déterminer les coordonnées des points d'intersections de C avec l'axe des abscisses

J'en suis toujours à la question 1 :
J'ai lis que le coefficient de la tangente est nul car la tangente est horizontale donc f'(x) = 0
Il faut donc déterminer les points où la dérivée s'annule
J'ai calculé la dérivée et j'ai trouvé :
0.4x^3 - 0.6x^2 - 1.2x +1.7
Maintenant si je me trompe pas il faut résoudre 0.4x^3 - 0.6x^2 - 1.2x +1.7 = 0 pour ensuite trouvé les 3 racines de cette équation et donc avoir les 3 abscisses des points de C qui admettent une tangente horizontale et ensuite trouvé leur ordonnés ?
Mais je ne sais pas trouver les 3 racines, help svp

Alors c'est une application classique du "théorème des valeurs intermédiaires", version terminale S.

Tu vas devoir faire une tableau de variation de ta dérivée (donc calculer sa dérivée, etc... ), puis repérer à peu près les zéros (en gros, si tu vois qu'elle est négative en un point, positive un peu après et qu'elle est strictement croissante entre les deux, tu sais qu'elle admet un unique zéro dans cet intervalle). Ensuite, tu vas devoir encadrer ta racine avec de plus en plus de précision en utilisant ta calculatrice : tu utilises la fonction table pour calculer toutes les valeurs prises par ta fonction pour des x entiers, par exemple, puis tu repères les deux entiers qui encadrent ta racine, et tu recommences en calculant toutes les valeurs entre ces deux entiers tous les 10^-1, et tu recommences jusqu'à arriver à la précision voulue.

Alors voilà j'ai trouvé les variations de la dérivée en calculant la dérivée seconde et en faisant le tableau de signe. J'ai donc trouvé trois 0, entre certains intervalles mais je n'ai pas bien saisi comment encadrer la racine on l'a vu vite fait en cours mais je n'ai pas compris, comment fait-on svp ?

Hmm, c'est pas évident à expliquer sans être en face de toi.

Bon, tu as une fonction table sur ta calculatrice scientifique, normalement. Cette fonction te permet d'afficher sous forme de tableau plusieurs valeurs prises par une fonction.

Par exemple, tu peux afficher les valeurs prises entre 1 et 2 en allant de 0.1 en 0.1.

Donc tu pars d'un encadrement de ta racine. Pour simplifier l'exemple, on va dire que tu sais qu'elle est entre 0 et 1.
Tu affiches donc les valeurs de ta fonction en 0, en 0.1, en 0.2, etc jusqu'en 1.
Ensuite, tu repères à quel endroit elle change de signe.
Par exemple, entre 0.4 et 0.5.

Du coup, tu affiches les valeurs de ta fonction entre 0.4 et 0.5, tu regardes en 0.4, en 0.41, etc.

Puis tu répètes l'opération, jusqu'à avoir donné un encadrement de largeur inférieure ou égale à 0.001.

Euh je vois à peu près de quoi tu parles.
Pour mes variations j'ai trouvé croissant de - l'infini à 2, décroissant de 2 à -0.04, croissant de -0.04 à + l'infini.
Donc j'ai donc trois 0, pourrai tu me faire un exemple avec la première racine pour que je sois plus éclairé s'il te plait ?
Si tu as besoin de quelque chose d'autres dis le moi je te donne

Bon, je vais te faire ça vite fait avec un tableur
Mais ça m'étonne que votre prof ne vous ait pas expliqué cette méthode en détails en classe

On l'a fait pendant une heure mais j'ai pas vraiment compris cette méthode

Bon, si f(x) = 0.1x^4 - 0.2x^3 - 0.6x^2 + 1.7x - 0.5
alors f'(x) = 0.4 x^3 - 0.6 x² - 1.2 x + 1.7
et f(x) = 1.2 x² - 1.2 x - 1.2
dont les racines de f sont 1/2 +ou- sqrt(5)/2
f' est croissante de -oo à 1/2 - sqrt(5)/2
décroissante entre 1/2 - sqrt(5)/2 et 1/2 + sqrt(5)/2
puis croissante jusqu'à +oo

Donc je ne suis pas tout à fait d'accord avec ton étude des variations.
Tu t'es pas embrouillé entre f et f', ou quelque chose comme ça ?

Bon, je vais manger, je termine ça après.

Euh je refais ça on verra.
Mais "sqrt(5)/2 c'est quoi ? Je n'avais encore jamais vu ça

J'ai calculé delta de f(x) j'ai trouvé 4.32.
Donc les deux racines (-b-racine de delta)/2a et (-b+racine de delta)/2a ce qui me donne (1-racine de 3)/2 et (1+racine de 3)/2
Tableau de signe de f(x) j'ai trouvé positif entre - l'infini et (1-racine de 3)/2, négatif entre (1-racine de 3)/2 et (1+racine de 3)/2, et positif entre (1+racine de 3)/2 et + l'infini.
Donc tableau de variation de f'(x) j'ai trouvé croissant, décroissant et croissant (mêmes intervalles que pour le tableau de signe de f''(x)). J'ai calculé f((1-racine de 3)/2) = 2 et f((1+racine de 3)/2) = -0.04
D'où mes variations croissant de - l'infini à 2, décroissant de 2 à -0.04 et croissant de -0.04 à + l'infini.
C'est faux ça ?

Ah c'est bon j'avais fais une erreur de calcul sur mon delta, j'ai donc trouvé 7.2 pour delta et j'ai les mêmes résultats que toi pour les racines

Au passage, quand t'as un polynôme du style
1.2 x² - 1.2 x - 1.2, tu peux factoriser par 1.2, ça te simplifie les calculs...
Et sqrt, c'est l'abréviation de "square root" qui veut dire racine carrée en anglais. On utilise souvent ça pour parler de la racine quand on n'a pas accès aux radicaux, parce que c'est en général le nom de la fonction racine carrée dans les langages de programmation ou de calcul formel en anglais.

D'accord.
J'ai donc les bonnes valeurs maintenant et j'ai les 3 racines mais il faut les encadrer à 10^-3 près c'est ça ? Donc comment on fait ?

Ben je te prépare un exemple

Ok merci beaucoup !

Alors, on cherche le premier zéro, qui se trouve entre -oo et 1/2 - sqrt(5)/2 (qui est entre -1 et -1/2 puisque sqrt(5) est entre 2 et 3)

Premier encadrement :

La racine se trouve entre -2 et -1

Second encadrement :

La racine se trouve entre -1.8 et -1.7

Troisième encadrement :

La racine se trouve entre -1.71 et -1.7

Quatrième et dernier encadrement :

Donc la racine se trouve entre -1.71 et -1.709
Ainsi, tu peux dire que ta racine vaut -1.7095 (ou en fait n'importe quelle valeur de l'intervalle) et tu sais que tu as moins de 0.001 d'erreur, donc tu as répondu à la question.

Ah oui merci je commence à me rappeler à peu près comment on avait fait en cours même si pour moi cette méthode n'arrive pas à rentrer dans mon cerveau
Et donc je dois recommencer ça pour les deux autres 0 ?

Oui.
Après, si t'es doué en programmation, tu devrais même pouvoir écrire un programme dans ta calculatrice qui fait ça tout seul