salut, je bloque sur un exo (oui encore )

Soient n €N*, (A,B) un couple de matrices réelles possedant une base commune de valeur propres dans R^n.
On definit la matrice par blocs :
M = [[A -B] [B,A]]
montrer que M est diagonalisable dans M2n(C)

faudrait trouver une base de vecteurs propres de M en partant de la base commune de A et B mais je vois pas trop comment faire...

j’attends prauron

M = [[A -B] [B,A]] j'ai pas compris comment M était définit perso

M =
(A -B)
(B A )

c'est mieux comme ça ?

Avec un peu de manipulation sur les lignes et les colonnes tu devrais réussir à montrer que det(M-k I(2n))=|det(A+iB+k I(n))|²

A et B ayant une base commune de VECTEURS propres, tu devrais pouvoir dire quelque chose de A+iB dans cette base et conclure.

au risque de dire une betise tu es sur de ton égalité det(M-k I(2n))=|det(A+iB+k I(n))|² ?
en prenant A = (1) B =(1), k = 1 il me semble que ça ne marche pas
perso j'ai trouvé det(A+iB-k*I(n))det(A-iB-k*I(n)) qui semble marcher avec l'exemple du dessus
je sais pas si ça changerait quelque chose, j'ai pas encore réfléchi à la suite

On trouve la même chose donc je ne comprends pas ton scepticisme face à l'expression que je te propose (modulo la petite coquille du +kI(n) au lieu du -kI(n) que tu as dû corriger).

ah oui d'accord, j'avais pas fait le lien directement entre mon expression et la tienne et du coup la coquille m'a un peu embrouillé
bref j'ai compris, je réfléchis à la suite maintenant

A+iB est diagonale dans la base commune, donc A+iB est diagonalisable
donc le polynome caractéristique de A+iB est scindé et chaque racine a pour multiplicité la dimension du sev propre associé
De même pour A-iB
le problème c'est que les sous espaces propres de M ce sont pas les même que ceux a A+iB ou A-iB, mais on doit pouvoir s'y ramener en créant une base consitué des vecteurs propres communs + i vecteurs propres communs puis vecteurs propres communs - i vecteurs propres communs et du coup on a nos sous espace propre de dimension multiplicité du polynome caratéristique

je divague ou c'est juste ? :p