salut, encore besoin d'un peu d'aide

soient E,F deux C ev de dim finie n et p respectivement
f appli linéaire de E dans F, de rang r, et soit
V= {g€L(F,E); fogof = 0}

a) soit g € L(F,E), montrer que g€V ssi g(Im f) inclus dans Ker f
=> ok ça se fait en ligne

b)calculer dim V en fonction de n, p, r
ça doit être du theoreme du rang bien appliqué mais j'obtiens que des inégalités grossière en utilisant le a)...

Tu as montré que pour avoir g dans V il suffit que g envoient les éléments de Im(f) dans Ker(f).

Pour construire un application g il suffit de la construire sur Im(f) de sorte à ce qu'elle l'envoie sur Ker(f) puis à compléter comme on veut sur un supplémentaire G de Im(f) dans F.

g est donc donnée par une application linéaire de Im(f) dans Ker(f) et une application linéaire de G dans E. A toi de conclure.

g envoie*

merci pour la réponse klaus, j'essaye ça demain!

ah oui en fait on montre qu'il y a isomorphisme entre V et K=(L(Imf,Kerf)xL(G,E))
en notant s l'application qui va de V dans K, qui a g associe (g1,g2),
s est surjective sans problème vu que Im f et G sont supplémentaires, et s est injective car g = g1+g2

et on trouve comme dimension np-r²

j'ai bien galéré alors qu'au final y'a rien compliqué...