c'est pas un exercice mais un défi pour les pros du fofo :

Niveau Term : Si f est une fonction continue d'un segment fermé dans lui même et si les extrémités sont des points fixes de f alors f est surjective

Niveau bac+++ : Si f est une fonction continue d'un disque fermé dans lui même et si tous les points du cercle frontière sont fixes par f alors f est surjective

Ouais. Là tu parles des fonctions à deux variables?

Pour le premier c'est dans R tout court mais pour le deuxième dans R² oui.

Ah ouais.

Je connaissais pas cette définition sous cette forme-là.

T'as pas une représentation graphique?

de quelle définition tu parles??

La seconde.

C'est pas des définitions mais des propriétés à démontrer!

Ah ok.

Si f(a)=a et f(b)=b alors f([a,b])=[f(a),f(b)] par continuité donc f([a,b])=[a,b] donc f surjective ça c'est le cas facile

1-Tello f([a,b])=[f(a),f(b)] c'est pas la continuité qui te le dit, la continuité te dit juste que f([a,b]) va être un intervalle qui contient f(a) et f(b) mais ce sont pas forcément ses bornes mais là il s'avère que oui.

2+2=4 derien

Pour la topo induite par D, D-f(D) est un ouvert car f(D) est un fermé (image d'un compact par une application continue).
Donc si (x0,y0) € D-f(D), il existe r>0 tel que B((x0,y0),r) inclus dans D-f(D).
Après on doit pouvoir se ramener à la dimension 1 en considérant une section (par exemple verticale) du disque qui traverse B((x0,y0),r). Cette section est déterminée par un x fixé et un y qui varie entre y1 et y2, avec (x,y1) et (x,y2) appartenant aux bords du disque.
Alors si f(x,y) = (f1(x,y),f2(x,y)), l'application f_x : y € [y1,y2] -> f2(x,y) est continue. De plus f_x(y1) = f2(x,y1) = y1. De même f_x(y2) = f2(x,y2) = y2, car f fixe le bord de D. Donc f_x est surjective. Et là on a une contradiction car la section {x} x [y1,y2] intersecte B((x0,y0),r).

Bon en fait je crois que ça sert à rien le truc de la boule.

Et aussi, je suis fatigué donc il est possible que je dise n'importe quoi.

J'ai appliqué le cas réel un peu trop vite, faudrait déjà prouver que f_x([y1,y2]) est inclus dans [y1,y2]...

Au lieu d'une section verticale, pourquoi ne pas considérer un diamètre ? ('Suis pas en forme pour réfléchir non plus, je balance au pif.) Comme ça la condition d'inclusion est vérifiée facilement.

Ah ouais pas con. Pis après tu rotates pour que ça soit vertical (juste pour pouvoir exprimer f_x simplement), ça change rien.

Méthode de gros bourrin :

Si f évite une valeur, disons 0, alors la fonction x->f(x)/|f(x)| envoie le disque tout entier sur sa frontière tout en fixant cette même frontière ce qui contredit le théorème de Brouwer.

J'ai pas de méthode moins bourrine mais j'ai bien l'impression que de toute manière ce machin là est carrément équivalent au théorème de Brouwer en dimension 2...

Je sais pas si ya d'autres preuves mais c'était bien par le théorème du point fixe que je concluais. Par contre je ne sais pas si ça marche toujours dans les dimensions supérieures.

Je vois pas comment on invoque Brouwer pour trouver une absurdité

A mon avis c'est la version "il n'existe pas de contraction continue du disque sur le cercle"

Ce n'est pas Brouwer que j'utilise mais un énoncé équivalent en dimension 2 qui est presque celui cité par Amandin à la locution prénatale près : Il n'existe pas de RETRACTION continue du disque sur le cercle, c'est à dire d'application continue du disque sur le cercle fixant ponctuellement le cercle.

Pour les dimensions supérieures le théorème reste vrai mais je ne saurais pas le montrer, cela utilise des arguments topologico-homologiques que je ne connais pas.