coucou, j'ai rebesoin d'un peu d'aide

Soient
K=R ou C, E un K ev de dim finie
g un endomorphisme de E de rang 1
f un automorphisme de E
montrer que f+g est un automorphisme ssi tr(go(f^-1))=/= -1

jsuis passé aux matrices et j'ai essayé de bidouiller mais rien de concluant (on peut faire apparait la trace de g facilement mais bon)

Je pense que ça se fait avec de la réduction :
les éléments du noyau de f+g sont les x de E tels que g(x) = -f(x), où encore les éléments tels que g(f^-1(y) = -y (en posant y = f(x), ce qui ne pose pas de problème puisque f est un automorphisme).
Donc il existe x non nul dans le noyau de f+g si et seulement si go(f^-1) admet -1 comme valeur propre.

Mais alors, g étant de rang 1, on montre facilement que go(f^-1) est également de rang 1 (f^-1 est un automorphisme).
Or, la trace de go(f^-1) c'est la somme de ses valeurs propres, donc elle est égale à la seule valeur propre non nulle de cet endomorphisme (ou à 0 s'il n'en a pas).

Ainsi, go(f^-1) admet -1 pour valeur propre si et seulement si sa trace est égale à -1 d'où le résultat.

merci