Bonjour !

Je cherche à établir l'équation de Klein-Gordon.

Je considère une particule qui se déplace sur x. J'ai
ψ(x,t) = exp(-i/ħ(Et - px))

Ensuite on me demande de chercher une EDP que vérifie l'onde associée ψ(x,t).

∂ψ(x,t)/∂t = -iEψ(x,t)/ħ
∂²ψ(x,t)/∂x² = -p²/ħ²ψ(x,t)

Donc en revenant à E = p²/2m j'obtiens
-ħ²/2m ∂²ψ(x,t)/∂x²= iħ ∂ψ(x,t)/∂t

Logiquement on retombe sur l'équation de Schrödinger

Maintenant le problème est qu'on me donne une particule en mouvement relativiste sur Ox, je dois trouver l'équation de Klein-Gordon en m'aidant de ce que je viens de faire.
Un indice ? :p

Salut!

En fait la démarche est la meme, mais tu utilises E² = m²c^4 + p²c²

Après tu calcules ∂²ψ(x,t)/∂t² et t'obtiens un terme avec du E².
∂²ψ(x,t)/∂x² ne change pas.
Finalement tu mets tout dans ta relation de dispersion et en manipulant un peu tu arrives à :

[∂²/∂x² - 1/c²∂²/∂t² - (mc/ħ)²]ψ(x,t) = 0

Et voilà !
Tu remarques que si m=0 t'as l'équation classique de propagation d'une onde EM.

En réalité l'équation de Klein-Gordon tu l'utiliseras plus tard en théorie des champs, pas en MQ (si t'en fais en master), enfin si t'as déjà vu la densité de courant de particules et de proba ( ∂ρ/∂t + div j = 0)...

Merci j'étais pas sûr de passer par là

Sinon ouais pour la densité de probabilité et de courant on l'a vu vite fait.