salut, j'ai besoin d'un peu d'aide sur un exo

Soit A € Mn(R) et X € Mn,1(R). Exprimer det(A+X*T(X)) [T : transposée]

ce que j'ai fait :
f l'endomorphisme canoniquement associé à A, g celui associé à X*T(X)
dans une base adaptée à la decomposition de Ker g + supplémentaire, on a la matrice de g (on va l'appeler G) qui est nulle sauf sur la dernière ligne (X*T(X)de rang 1, si rang 0 osef)
On appelle F la matrice de f dans cette base
On note F = [C1,...,Cn] et G=[0,...,C0]
par multilinéarité de determinant, det (F+G) = det F + det [C1,...,Cn-1,C0]
et là je sais plus quoi faire

merci

Salut,

det(A+XtX)=det[A(In + A^-1 X tX)]=det(A)*det(In + A^-1 X tX)

Or on dispose (ou on peut redémontrer) du résultat suivant :

Si M appartient à Mpq(R) et N appartient à Mqp(R) :
det(Ip - MN)=det(Iq - NM)

Applique cette formule à M = A^-1 X et N=tX et conclus.

y'a rien qui dit que A est inversible par contre

C'est ... pas faux! Etrange cela dit. J'ai considéré d'emblée que A était inversible car le résultat est simple dans ce cas.

En effet par la méthode que j'ai décrite on obtient rapidement que det(A+XtX)=det(A)(tX A^-1 X +1)

Si A n'est pas inversible, je n'ai pas l'impression qu'on va pouvoir obtenir une expression très agréable.

J'y réfléchis.

Si A n'est pas inversible :

det(A+XtX)*det(tcom(A))=det(X*tX*tcom(A))=tX*tcom(
A)*X

donc det(A+XtX)=(tX*tcom(A)*X)/det(tcom(A))

avec tcom(A) la transposée de la comatrice de A.

y'a 2 ptites erreurs de calculs je crois (il manque le terme en In et un determinant a disparu) mais j'ai compris le principe merci!

juste 2 questions : comment on montre "Si M appartient à Mpq(R) et N appartient à Mqp(R) :
det(Ip - MN)=det(Iq - NM) "
comme ça je vois pas...

et la solution parait logique après avoir fait le cas inversible, mais justement je vois pas trop comment t'as eu l'idée étant donné qu'on avait pas d'hypothèse d'inversibilité...

Le In disparu provient du fait que A.tcom(A)=0 lorsque A n'est pas inversible.

Cela dit ma preuve est un non sens car det(tcom(A))=0 pour A non inversible...

Bref, je reste sceptique sur le fait que l'on demande une formule pour A quelconque, vérifie l'énoncé qu'on t'a donné.

ah oui exact :/

non je confirme, A est quelconque j'en suis sur

OMG j'ai lu 'spé maths' Donc j'ai du relire 3 fois 'endomorphisme' avant de me foutre de moi-même

En fait l'exo repose uniquement sur la multilinéarité du déterminant, rien de plus. Le truc bien dans l'affaire, c'est que XtX a un très petit rang, ce qui va annuler beaucoup de termes dans le développement du dét (à la barbare, comme un binôme de Newton).

Appelons C1,..,Cn les colonnes de A, posons X = (x1,..,xn).

On a : det(A+XtX) = det(C1+x1*X,..,Cn+xn*X) = det(C1,..,Cn) = somme(i=1, n, det(C1,..,xi*X,..,Cn) ) + (termes comprenant au moins deux colonnes de X).

Mais si i et j sont deux indices, dès qu'on a deux colonnes de X dans le dét, on a :

det(C1,..,xi*X,..,xj*X,..,Cn) = 0, car xi*(xj*X) - xj*(xi*X) = 0 !

Il ne reste donc que det(A) + somme(i=1, n, xi*det(C1,..,X,..,Cn) ),

le terme dans la somme n'étant qu'un déterminant de Cramer relativement à X. Fini.

ah oui, pour utiliser le fait que le rang de XtX était petit j'ai voulu changer de base mais en fait vu qu'on connait "bien" XtX, ça marche bien en y allant directement
merci hach

bon par contre j'aime pas trop les exos de ce genre où tu sais jamais vraiment ce qui est demandé, fin je suis pas sur que l'expression obtenue soit beaucoup plus simple

Osef, si t'arrives à l'expression finale c'est que t'as utilisé une propriété mal connue du déterminant, ça fait très bonne impression aux concours.

la multilinéarité de du déterminant c'est mal connu ? :o c'est quand même utile dans pas d'exos j'ai l'impression

Lol la multilinéarité du déterminant c'est même ce qui le définit nan ? Une forme n-linéaire anti symétrique

Ouais, et combien s'en souviennent au bout du compte, c'est ça qui importe ici.

On voit plus souvent des raisonnements à base de densité/continuité, genre "supposons que A est inversible" (plus rarement "A diagonalisable"), mais le calcul purement algébrique comme ici passe un peu à la trappe.

Sorcor2 : tu as oublié le plus important. Alternée.

Anti symetrique équivaut à alterné dans un corps de caractéristique >2

Bonjour à tous,

bravo à Hachino d'avoir eu le courage de se lancer dans une preuve à la main.

Pour ma part je pense avoir fini par trouver une formule assez jolie qui fonctionne pour A quelconque : det(A+R1)=det(A)+tr(tcom(A)R1)

avec tcom(A) la transposée de la comatrice de A et R1 une matrice de rang 1.

Tombez-vous bien sur la même chose avec la méthode d'Hachino? En tout cas c'est cohérent avec la formule trouvée dans le cas A inversible que j'avais trouvée dans le cas inversible.

Après avoir déchiffrée la méthode d'Hachino, nous arrivons bien au même résultat, tant mieux!

On remarque qu'en réalité lorsque A n'est pas inversible le déterminant recherché est nul. On aurait pu trouver ceci immédiatement par des considérations de rang (bien que le cas rang(A)=n-1 soit un peu plus délicat)