Salut a tous , c'est encore moi ^^ . J'ai un dm a faire et sur cet exercice je galère un peu , j'ai réussi a faire certaines questions (les plus faciles bien sur )mais sur les autres je suis bloquée. Je ne sais même pas comment faire
L'énoncé c'est ça :
Pour tout entier de N* on considère la suite (Un) définie par : Un = 1/1^3+1/2^3+1/3^3+...+1/n^3
1. Donner en justifiant un minorant de cette suite.
2.Déterminer le sens de variation de cette suite.
3a. Montrer que : 1/k-1/(k+1)^3-1/(k+1)>0 (sachant que (a+b)^3 = a^3+3a²b+3ab²+b^3)
b. Montrer par récurrence que tout n de N* : Un_<2-1/n
c. En déduire un majorant de (Un)
d. Que peut-on conclure ?
Alors moi j'ai fait :
1. Son minorant c'est 0
2. Faut étudier le signe de Un+1-Un
Donc on a : Un+1-Un = 1/(n+1)^3 et on sait que 1/(n+1)^3 > 0 d'où lim 1/(n+1)^3 = -00 Donc (Un) est décroissante
3a. J'y arrive pas -.-
b. Par récurrence je vais démontrer que : pour tout n de N* : Un_< 2-1/n (Pn)
-au rang n=1
U1= 1/1^3 = 1 (à gauche) et 2-1/1 = 2-1 = 1 (à droite)
D'où 1_<1 donc Pn est vraie au rang n=1
-je suppose alors que pour tout k de N* on a : Uk_< 2-1/k (Hypothèse de récurrence : HR)
-en supposant que Pk est vraie , je vais démontrer au rang k+1 : Uk+1_< 2-1/(k+1) <=> Uk+1 + 1/(k+1) _< 2
Voila je suis arrêtée la :/
Merci de m'aider

1-ok,1 marche aussi

2- "Donc on a : Un+1-Un = 1/(n+1)^3 et on sait que 1/(n+1)^3 > 0" ça c'est bon,par contre la suite c'est faux,si U(n+1)-Un>0 alors ta suite est croissante

3-a je vois pas où ton prof veut en venir,mais si tu mets tout au même dénominateur ça te donne (k²+k+1)/(k(k+1)^3)

en bas ça sera strictement positif,le dénominateur peut aussi s'écrire
(k+1/2)²+3/4 donc il est aussi strictement positif,on a bien l'inégalité

3-b "je suppose alors que pour tout k de N* on a : Uk_< 2-1/k "
non,si tu supposes ça tu admets le résultat, il faut que tu prennes un k quelconque dans N*

ensuite pour le passage en admettant que la propriété est vraie pour le rang k tu écris U(k+1) avec sa définition
U(k+1)=...=U(k)+1/(k+1)
puis tu utilises ton hdr
U(k+1)<2-(1/k)+1/(k+1)

ensuite en utilisant la 3a tu as -1/k+1/(k+1)<-1/(k+1)^3
d'où U(k+1)<2-1/(k+1)^3<2-1/(k+1) (parce que (k+1)^3>(k+1) donc en passant à l'inverse puis à l'opposé...)

c- d'après la relation précédente Vn€N, un<2
d- la suite est croissante et majorée donc...

Pour la 2. J'ai dis que la suite était décroissante parce que la limite de 1/(n+1)^3 tend vers -00 c'est pour ça
3. Moi non plus je vois pas ou elle veut en venir , elle complique toujours tout -.-
3b. Mon problème c'est que j'arrive jamais a finir ^^
3c. Son majorant c'est 2 ?
d. Bah la suite est donc bornée

Euh non j'ai rien pour la 2 ^^
J'ai fait une connerie
3. Oui je sais mais ca sert pas a grand chose ^^
En tout cas merci pour l'aide !!!