Bonjour !

Je comprends pas très bien la notion de base duale...
Je m'explique :

On est dans un espace E de dimension finie n qu'on rapporte à une base B=(e1,...,en) et on peut alors écrire un vecteur x sous la forme x = x1*e1 + ... + xn*en où les xi sont les composantes de x dans B.
Alors on considère f1,...,fn les applications composantes qui à x associent ses composantes dans B de sorte qu'on a :
x = f1(x)*e1 + ... + fn(x)*en
Et alors on a les résultats suivants :
f1,...,fn sont n formes linéaires sur E
B'=(f1,...,fn) est une base, dite base duale de B.

Je comprends bien jusqu'ici. Mais sur un exemple, les résultats me paraissent faux.
On considère le polynôme P(x) = x² + x + 2.
La base canonique de R_n[X] est B=(1,x,...,x^n).
Dans cet exemple, la base duale de B, notée B', n'est plus une base puisqu'elle vaut : B'=(2,1,1,0,...,0).

Qu'est-ce qui va pas dans mon raisonnement ?

qu'est ce que tu racontes à la fin ?

pour l'exemple la base duale de R_2[X] est formée de 3 applications linéaires (f1,f2,f3)
Pour P(x) = x² + x + 2,
f1(P)=2
f2(P)=1
f3(P)=1

ok ?

f1,f2,f3 sont plus précisément des formes linéaires pardon pour le manque de précision

Okay mais (f1,f2,f3) ne forme pas une base...

Ah je vois mon erreur en fait... Mais du coup on ne peut pas préciser explicitement f1, f2 et f3 ?

Tu peux les "préciser" par des matrices de tailles 1*n si ça te chante, comme toute forme linéaire sur E...

Tu peux les préciser, mais ce n'est pas à l'aide de ce polynôme P que tu peux

et attention : (f1,f2,...) forme une base, cependant f1(P),f2(P),... sont des images des fonctions f1,f2,f3, donc comme ici c'est à valeurs dans R, qui est de dimension 1 en tant que R-espace vectoriel ... tu comprends bien que ceci n'a aucune cohérence sur le fait que oui ou non les f1,f2,f3,... forment une base duale

je ne suis pas certains que tu as réellement introduit la notion de base duale de (e1,...,en) comme ceci, c'est plutôt une propriété de la base duale de (e1,...,en) je pense

sinon important pour pas que tu perdes le fil : base duale c'est une base des formes lineaires de E dans R (ou C, ou K un autre corps, tout dépend du corps avec lequel que tu travailles) ainsi, le fait d'évaluer n'insinue rien sur ca notion de liée ou autre, cependant c'est une technique qui peut parfois permettre de montrer qu'une famille de fonctions et libres (t'evalue en un truc qui annule tout le monde sauf 1 qui permet d'avoir un certains bidule etc...)

souvent on utilisera la définition pour l'expliciter, ou des astuces pr avoir ce que tu as donner dans ton premier post que quelque soit x, x=f1(x)e1 + ...

la définition : fi(ej)=1 si i=j, 0 sinon