Bonsoir.

Je bloque sur une question à priori anodine mais sur laquelle j'ai quelques difficultés.

On me donne la fonction f(x,y)=(x^3-y^3)/(x²+y²) pour tout (x,y) différent de (0,0) et f(0,0)=0.

On me demande de montrer que cette fonction n'est pas différentiable en (0,0). J'ai donc calculé df/dx(0,0)=1 et df/dy(0,0)=-1.

J'applique donc la formule du cours qui me permet de montrer que la fonction est différentiable en (0,0) et la je trouve 0 ce qui montrerait que la fonction EST différentiable alors qu'elle ne devrait à priori pas l'être.

Merci pour votre aide !

comment trouves tu 0 ? sachant que df/dx et df/dy en (0,0) est différent de 0 ? je pense que ton problème viens là

de plus, l'existence des dérivées partielles en ce point ne prouve pas la différentiabilité en ce point

Je calcule (f(h,k)-f(0,0)-h(df/dx)-k(df/dy))/Racine carrée de h²+k² en remplaçant et en posant h=k je trouve 0 au numérateur.

tu dois avoir fait une erreur de calcul, parce que le numérateur ne s'annule pas

ah si en posant h=k

cependant pourquoi tu poses h=k ?

quand tu dis ||(h,k)||->0 il y a aucune raison que h et k deviennent égaux quand tu prends epsilon très petit dans la définition de limite

Au numérateur j'ai h^3-k^3-h(h²+k²)+k(h²+k²) et lorsque je pose h=k j'ai 0, je ne vois pas ou est mon erreur...

C'est une technique du prof, malheureusement elle n'a pas l'air de marcher pour tous les cas.

revois quand est ce que tu utilises cette technique !

c'est une technique pour trouver des contradictions de manière générale

(analogue a quelque chose que tu connais bien : si tu veux montrer qu'une proposition est fausse QUELQUE SOIT bidule, il suffit de trouver UN bidule pour lequel ca ne marche pas !)

Ici, tu peux pas faire ca, tu ne suppose pas que h=k ->0

on fait ca pour trouver des contradiction, ou pr montrer que quelque chose ne marche pas !
exemple :
tu veux montrer que df/dx n'est PAS continue en (0,0)
tu as fini trouver df/dx (0,0) = 0 (par la définition avec les limites)
apres plusieurs étapes de calculs tu as : (par exemple )

h+k / h^2, tu dis en posant h=k tu as h^2/h^2 = 1 dc quand (h,h)->0 tu as ton truc qui ne tend pas vers 0 car ca vaut 1 ici !

Du coup je ne vois pas comment faire pour que la limite soit différente de 0...

déjà simplifie ton expression

passage en polaire? k=2h ? k=racine de (h)? k=h ? (le dernier ne marche pas )

En posant k=2h je trouve que la limite vaut 7V5/25 qui est différent de 0.

oui, mais ceci n'est pas très classe ! fait un passage en polaire pour montrer ce que tu sais faire :p

non fait comme tu veux, de toute façon tu vois bien que ton raisonnement précédent était faux et j'espère que tu as compris les raisons, c'est le principal, mais n'hésite pas à passer en polaire !!!

l'autre astuce est de passé aussi par des suites qui tendent vers 0 genre la suite hn = 1/n et kn = 1/n² (je sais pas si ca marche ici mais ce sont des possibilités)

et l'astuce qui tout, qui quand tu dois la faire, tu es dégouté : passer en polaire + suites rn et téta n
il y a pas mal de preuves qui utilisent ça d'ailleurs (des preuves classiques, je n'en ai pas en tête)

On voit de toute façon que la limite est différente de 0, que le résultat soir "classe" ou pas on s'en fiche non ? Le principal c'est d'avoir la "bonne" réponse !
Merci à toi en tout cas !

Oui je sais bien, ceci était juste une "blague"

Je voulais juste te signaler que le recours au passage au coordonnées polaire est super classique et très pratique

J'essayerai tout ça demain ! Encore merci ;)

Pas de soucis ;), tu as fait une petite erreur de logique, ca arrive, surement parce que c'est le début, tu n'es pas encore à l'aise avec toutes ces nouvelles notions, n'oublie pas toutes les notions que j'ai signalé la dernière fois, ca te permettra d'éliminer beaucoup de confusion possible et ainsi d'acquérir un bon recul sur cette leçon

bon courage à toi !