Voilà mon souci :

En réfléchissant à un problème de maths j'ai considéré la fonction suivante :

f : Q* -> {0,1} qui à x associe 0 si x<0 et 1 si x>0

Supposons f non continue sur Q*. alors il éxiste un certain x0 dans Q* tel quel f ne soit pas continue en x0.

On a donc:
(E) : il existe e>0, pour tout a>0, il existe x dans Q* tel que d(x,x0)<a ET d( f(x), f(x0) ) >= e.

Retenons un tel e.

Soit a=abs(x0) > 0 car xo non nul.
Donc d'après (E), il existe x dans Q* tel quel d(x,x0) < a et d(f(x),f(x0))>=e

On montre facilement que x est du signe de x0 car a est la distance de x0 à 0, or la distance de x à x0 est plus petite que a.

On a bien d(x,xo)<a et pourtant d(f(x),f(x0))=0<e car f(x)=f(x0)

Donc l'hypothèse est fausse et f est continue sur Q*.

De plus, {0,1} est un fermé dans R. Comme f est continue, l'image réciproque par f de {0,1} est un fermé. Donc Q* est fermé.

Donc R privé de Q* est un ouvert.

Donc, il existe un certain r>0, tel que la boule ouverte centrée sur 0 de rayon r est incluse dans R privé de Q*. On note B cette boule.

Or, il existe n€N* tel 1/n < r,
Donc 1/n est dans B.

Certainement, 1/n n'est pas irrationnel, et comme 1/n appartient à R privé de Q*, 1/n = 0

Donc 1=0

Ou est l'erreur?

De plus, {0,1} est un fermé dans R. Comme f est continue, l'image réciproque par f de {0,1} est un fermé.

Un fermé... de Q*. Ô miracle, Q+* est précisément un fermé de Q*, je te laisse le vérifier.

Tu devrais pas plutôt utiliser la topo induite sur Q* ?

Arf bien sur Hachino, ça faisait 20 minutes que je cherchais l'erreur ><

ta démonstration reste vague sur énormément de points
prauron et hachino en ont distingués, on peut aussi remarquer que tu gardes apparemment la même distance (pourquoi pas)sur {0,1} qui est a fortiori discret

donc dans : (E) : il existe e>0, pour tout a>0, il existe x dans Q* tel que d(x,x0)<a ET d( f(x), f(x0) ) >= e.

tu as automatiquement f(x)=/=f(x0) donc x et x0 sont de signes contraire, voir même tu as rien du tout si e>1

ce qui montre bien la contradiction, mais bon ta manière est bizarre...

si f continue soit x dans Q*
0<e<1 il existe a >0 tq qqsoit y tq d(x,y)<a alors d(f(x),f(y))<e donc f(x)=f(y) donc x et y sont de même signes
or avec les suites (1/n) et (-1/n) il est possible, a priori d'avoir 2 éléments de Q* tq pr n asse grand 2/n soit < a donc tu aurais démontrer que -1/n et 1/n sont de même signes

donc f non continue ? non tu conclurais toi que 1=0, car on a choisit un e entre 0 et 1, le probleme aussi vient du faire que tous les résultats qu'on utilise, il y a bien un moment ou on utilise le fait que 1 soit différent de 0 ?

dans ce cas par analogie tu montres que 1/2=0,1/3=0, etc... donc que ta construction réelle n'a pas de sens, bref je m'embrouille moi même

Oui la distance d est la meme, d(x,y) = abs(x-y). C'est bien une distance sur Q* et {0,1}.
Je ne vois pas ce que tu dis apres, pourquoi supposer f continue? Elle l'est

oui ok ma preuve consistant à montrer qu'elle ne l'est pas est fausse, j'ai juste montré qu'elle n'est pas uniformément continue

C'est sympa de me dire que ma "demo" est extremement vague, mais alors dis moi en quoi ta demonstration de la non continuite unfiorme est propre? Abs(f(x)-f(y)) ne peut valoir que 0 ou 1 donc bon en une ligne c'etait reglé...

je vois que certaines personnes sont très suceptible

" Abs(f(x)-f(y)) ne peut valoir que 0 ou 1 donc bon en une ligne c'etait reglé... " je n'ai jamais dit le contraire, c'est d'ailleurs ce que j'ai dit ... j'ai remarqué mon erreur et ai rectifié le tir

et oui quand je dis que ta démo est vague, c'est bien sur avec les notions topologiques qu'ont évoqués Prauron et Hachino et dans mon premier post j'ai détaillé un point où j'aimais pas la façon dont tu as présenté, mais je n'ai jamais signalé que ce n'était pas juste...

enfin bref...