Bonsoir à tous !

J'ai un petite question concernant un exercice.

On me donne la fonction f(x,y)=(x^3-y^3)/(x²+y²) pour tout (x,y) différent de (0,0) et f(0,0=0.

On me demande de prouver l'existence des dérivées partielles en (0,0).

Je calcule donc df/dx(0,0) et df/dy(0,0) en calculant donc la limite, je trouve respectivement 1 et -1, ce qui prouve l'existence des dérivées partielles cependant elles ne sont pas continues en (0,0) car leur limite est différente de 0.

Rectifiez moi si je me trompe. Merci !

Salut,

Pourquoi leur limite devrait-elle être 0?

si la limite des dérivées partielles premières est nulle alors elles sont continues, ce qui n'est pas le cas ici. Non ?

df/dx et df/dy sont deux fonctions différentes pourquoi devrait elle s'annulées en 0 ou même être égales ?

C'est justement les questions que je me pose.

Pour avoir la continuité il faut que les dérivées partielles convergent en (0,0) vers leur valeur en ce point. Obtenir une expression des dérivées partielles au voisinage de 0 serait un bon début.

Je suis d'accord avec cela, mais ce n'est pas question, je voulais juste savoir si ce que j'ai suffit à prouver que les dérivées partielles en (0,0) existent, en fait on ne me demande pas de prouver qu'elles sont continues, c'était une observation (surement fausse) que je faisais.

Je pense que tu as certaines confusion au niveau de ce cours, et c'est normal, il est très facile de s'enflammer sur les propriétés et théorèmes

revoit les grandes lignes :
différentiabilité implique ? continue ? existence des dérives partielles ? continuité des dérivées partielles ?

continuité de la différentiabilité implique ?

qu'en est il des réciproques ? doit on rajouter des conditions pour les réciproques ?

dans des espaces R^n : liens entre différentielle et dérivées partielles

faut vraiment prendre du temps et mettre tout à plat, calmement.

ensuite tu peux remarquer que les questions que tu te posent deviendront évidentes

si les différentielles sont continues : df/dx(0,0) peut etre différent de df/dy(0,0) ? doivent elle etre egales à 0 quand f(0,0)=0 ?
quels liens a t on entre df/dx et df/dy ?
(ces deux dernières questions sont celles qu'apparemment tu te poses actuellement)

une fois que tu auras répondu au premières questions (peut-être pas toutes) tu auras compris quel role ont tous ces différents object, mais qui sont très liés

j'admet que ce sont des notions qui doivent être beaucoup pratiquées, une confusion est vite arrivée

ah ok, a tu déjà vu une fois que si lim f(x,0)-f(0,0) / x-0 existe quand x tend vers 0 alors df/dx(0,0) existe et vaut cette limite ? parce que j'imagine que ton calcul est passé par là ?
ou alors tu es passé par : g(x) = f(x,0), g est dérivable, et g'(0)=bidule (ce qui est sensiblement la même chose ???) ?

ceci est une question pour que tu y réfléchisses, tu auras ta réponse instantanément, sauf si tu manques cruellement de confiance en toi, auquel cas, on pourra continuer la discussion.

Souvent je donne vite l'argument qui permet de répondre à ta question, mais (je l'avoue, j'ai eu aussi du mal avec ces notions, on va dire je faisais bien le boulot puis une fois qu'on m'en parlait plus pdt un petit moment fallait que je me retappe pas mal de boulot de révisions pour réellement acquérir les notions, donc je parle pas expérience du sujet avec lequel je ne suis pas faché, mais dont je n'ai pas été très à l'aise dessus, pendant un moment)

J'ai en effet trouvé ces résultats grâce au passage à la limite comme tu viens de le citer, cependant je ne sais pas si c'est suffisant pour prouver l'existence de ces dérivées partielles.
Ma question sur la continuité était en fait une "hypothèse".

oui c'est suffisant pour l'existence au point (0,0) et sinon ton argument ne prouve pas la discontinuité de celle ci en ce point

je t'invite a revoir la définition de dérivées partielles, et les choses dont j'ai "expliqué" dans un de mes posts sur toutes les notions d'implications etc...

comme je te l'ai dit, il est très facile de s'embrouiller la dessus si on acquiert pas le recul nécessaire sur toutes ces notions, et même celles de bases comme la différentielle de f en un point est une application linéaire, que veut dire continuité de la différentielle ?
j'ai déjà vu des confusions entre montrer que Df est continue et Df(a) est continue, qu'est ce que ca implique dans chacun des cas ? peut on retrouver l'un à partir de l'autre ?

bref, tout ca pour te montrer que toutes ces notions ont l'air de se ressembler, toutes sont liées, mais faut il encore savoir comment elles le sont. tu as l'air de t'attaquer au début de ça, c'est pourquoi j'insiste la dessus, il ne faut pas perdre le fil sur ces notions

(une fois compris tu verras, tout ce que tu feras à ton niveau sera très facile, car les profs le savent que ces notions sont souvent floues, et que beaucoup d'examen la dessus sont justement fait pour révéler ces notions qui diffère et comment elles peuvent être reliées.

Ensuite pour la poursuite de tes études, ca dependra de ton choix d'orientation, mais c'est un sujet qui peut donner sur énormément de choses très intéressantes et bien sur tu approfondiras quand il le faudra)

Je vais travailler ça ce week-end mais ça commence à s'éclaircir !
Je te remercie pour ton aide qui m'a été précieuse en tout cas

Pas de soucis ! Je sais que je n'ai pas éclaircit les réponses, mais les diverses problèmes qu'il y a et auquel il faut savoir qui implique quoi, doit on rajouter des conditions ? etc... et j'ai tenté de souligner les principaux problèmes de confusion ! au moins tu pourras guider ton travail et te poser les bonnes questions pour avancer dans la compréhension de ta leçon