Bonjour, j'ai noté dans mon cours que (a+b)^p = a^p + b^p dans tout corps de caractéristique p.
Lorsque le corps est fini, il est commutatif donc ok, mais pourrait-on trouver un corps non commutatif de caract. p dans lequel cette formule est fausse ?
Si on prend une cloture de Z/pZ on garde la commutativité non ?

Salut,

dans un premier temps saurais-tu trouver des corps non commutatifs de caractéristique non nulle?

Pour la question de la commutativité de la clôture algébrique elle ne se pose pas puisque sauf erreur tu as dû définir la notion de clôture algébrique seulement sur des corps commutatifs. C'est pas impossible de le faire sur des corps gauche mais ça devient nettement plus compliqué, déjà que les polynômes peuvent avoir une infinité de racines sans être nuls...

Ah oui, je n'ai vu la clôture que dans le cas commutatif. Pour ta première question, je connais pas tellement de corps non commutatif à part IH, mais il est de caract nulle
En fait, je connais pas d'outils pour construire des corps à part faire un quotient A[X]/(P) où P est un pol irréd, c'est pour ça que j'ai pensé à une cloture au début

La construction des corps A[X]/(P) elle aussi devient délicate dès que l'anneau n'est plus commutatif et donc que les idéaux ne sont plus nécessairement bilatères.

Bon de tels corps existent bien mais une construction propre serait surement compliquée pour pas grand chose.

Je peux essayer de résumer grossièrement :
Déjà il nous faut un corps infini de caractéristique non nulle, les exemples les plus simples sont les corps de fraction rationnelle Fp(X) avec Fp=Z/pZ et p premier.

Maintenant l'idée est de construire un sur-corps de Fp(X) qui aurait le même rôle que celui des quaternions envers C. Pour ça il faut de la théorie des algèbres de corps et considérer l'unique algèbre sur Fp(X) engendrés par des éléments vérifiant des relations similaires à celles que vérifient i,j et k chez les quaternions. Cette algèbre ainsi construite aurait une sous-structure de corps non commutatif de caractéristique fini et qui ne vérifie pas ta relation à cause des relations définissant ses générateurs.

Bon tout ça serait à développer et malheureusement je n'ai pas d'ouvrages en tête à te conseiller sur ce sujet.

D'accord je comprend (à peu près) l'analogie avec C et IH.
En tout cas ça me rassure sur le fait que la question n'est pas triviale
Merci en tout cas

oui ceci n'est pas trivial et effectivement le plus "simple" réside dans le fait qu'on connait la construction des quaternions (bien sur il y a d'autre constructions, enfin je suppose)

je te renvois à ce topic qui explique avec plus de détails (mais sans démonstration), il y a une référence : A.Blanchard
cependant c'est (je crois pour une caracteristique différente de 2 (la non commutativité réside simplement dans le fait qu'on ai xy=-yx), il existe peut-être des exemples en caractéristiques 2

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,815976,815980