Voilà deux petits problèmes, pas très difficile, demandant un petit peu de réflexion si on ne connait pas déjà la démonstration bien sur

1) Soit q un entier. Existe-t-il un intervalle de longueur q ne contenant pas de nombres premiers ? si oui trouvez le, sinon pourquoi?

2) Soit p un entier strictement supérieur à 1.
Montrer que p est premier si et seulement si (p-1)! est congru à -1 modulo p

Je me suis mal exprimer pour la première question

bien sur quand je dis trouvez le, je ne voulais pas dire qu'il n'y en avait qu'un possible, il y en a peut-être pas d'ailleurs pour q assez grand ?
quand je dis trouvez le, je voulais dire trouvez en un (parce que sinon ca insinue l'unicité or pour q=1 c'est clair que c'est faux ..., après à vous de voir si c'est vrai ou si c'est faux à partir d'un certains rang et si c'est vrai trouvez m'en un.

un autre petit exo à l'anecdote plutôt sympathique accessible dès la terminale, mais un peu difficile je pense

Problème :
une institutrice élitiste décide à chaque devoir de donner 1 au dernier, 2 à l'avant dernier, 4 à l'antépénultième (avt avt dernier), ... , et ainsi de suite en doublant le nombre de bonbons à chaque fois.

(on suppose bien sur que personne à la même note et que les notes peuvent être décimales, histoire de régler l'histoire si il y a plus de 21 élèves et qu'on note sur 20 c'est pas possible etc... et qu'il y a au minimum 2 élèves dans la classe, sinon c'est débile il n'y a rien à "partager")

Un jour, elle se fait remplacer pour une raison X (on s'en fou), elle laisse le nombre exacte de bonbons à sa remplaçante pour effectuer le partager élitiste, cependant elle est égalitaire et décide de partager en nombre égale à tout le monde.

Pourquoi n’y parvint-elle qu’en mangeant elle- même quelques bonbons ?

je suis d'accord pour le 1

2) tu as le raisonnement, mais bon, tu dis des choses
"tous les nombres ont une inverse différente d'eux-mêmes sauf 1 et -1", à priori ceci n'est pas trivial, ou du moins pour que ça le soit, il faudrait un argument pour ceci (simple je te l'accorde, pour te tester un peu ;) )

la réciproque, j'avoue ne pas trop comprendre ton raisonnement, un détail?

3) détail :

tu dis l'ordre de 2 modulo n (notons o son ordre) donc 2^o=1 mod(n) (ce que tu dis)
tu dis ensuite que o est un diviseur de p-1 par fermat
et la je vois pas le rapport

si o divise p-1 alors 2^(p-1)=1 mod(n), a priori ceci n'est pas trivial

et o divise n l'est car 2^n=1 mod(n), cependant tu vois, pour tenter d'expliquer il faudrait le redire ça, parce que tu lances plein de résultats, sans réelles explications, on doit chercher ta preuve ?

attention, je ne dis pas que c'est faux, loin de là, tu m'as l'air d'avoir de très bonne idée, j'essaie juste de voir comment tu réalises le problème, sachant que pour tous ces problèmes, il y a énormément de façon de les résoudre (sauf peut-être le premier, je pense pas qu'on s'embête a expliciter autre chose que le tiens, mais remarque que tu n'as pas expliquer pourquoi ca marche !)

tu es sur d'être en terminale ? tes arguments me font penser plutôt a un niveau bac+2 notamment sur l'autre topic avec le coup du borné, compact, Weierstrass...

en tout cas si tu es bien plus haut que bac+2 je ne te félicites plus ! pas de mérite :p bac+2 et en dessous c'est vraiment bien je trouve, si tu aimes les preuves arithmétiques, j'en ai a la pelle, et des sympa (notamment l'infinité de nombre premiers de la forme Ln+1 avec n fixé L entier, résolvable de plusieurs façon dont certaines plus ou moins jolies)

Ok, ca me va mieu, pour les explications

on parle d'inverse modulo p en terminale ? et sinon pourquoi seul 1 et p-1 sont egals a leur inverses modulo p ? (et tu auras fini ;) j'avoue c'est simple !)

je suppose que ton avant dernière ligne c'est a=1 ou -1, la dernière ligne est inutile (et c'est si p divise les 2!)

par contre le "exactement" est un peu mal placé et peu porté a confusion tu as juste p divise l'un ou l'autre donc a=1 ou -1 (tout ca en équivalence)