voila j'ai réussi a résoudre cet exercice, mais ça m'a pris plein de temps (1 feuille blanche) alors je voudrais savoir s'il n y avait pas d'astuce pour le résoudre plus rapidement

voila l'énoncé: soit a1 et a2 et ... et an appartiennent a ]0;+oo[ , on a a1 x a2 x ... x an =< [(a1 + a2 + ... + an)/n]^n

les 1 et 2 et n près de a sont de petits nombres

argument de concavité de la fonction ln

comment? car quand j'arrive a argumenter le n+1 ça me prend du temps

on utilise quel argument?

http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Jensen

prauron, t'aurais pas un outil de contact? vu que cette année j'ai plein d'exos plutôt difficiles en maths, et je me demandais si je ne pouvais pas te contacter (facebook, msn ...) histoire de m'aider

et merci beaucoup

Tu peux demander ici, j'y suis souvent. Et si j'y suis pas, y'aura quelqu'un d'autre pour te répondre.

ok et tu pourrais pas stp m'expliquer plus profondément cette récurrence, car on a pas encore étudié l'argumentation par fonction In et toute cette magie mathématique

je suis encore ne 1ere

Tu sais ce que c'est une fonction convexe déjà ?

non pour une telle argumentation tous ce que je sais qu'il faut montrer que n => n+1 pour a1a2...an=<((a1+a2+...+an)/n)^n

Ah, ben si tu connais pas la convexité, oublie tout ce qu'on t'a dit sur ce topic alors.

alors, il n y aurait pas une autre solution?

ces foutus programmes marocains

Enfin, si ça t'amuse, tu peux essayer de le faire comme ça...

Tout ce que tu as besoin de savoir c'est que pour 0<k<1, et pour tous x,y > 0, ln(kx + (1-k)y) >= k*ln(x) + (1-k)ln(y).

A partir de ça tu peux montrer par récurrence ton inégalité. Et même, de façon plus générale, l'inégalité de Jensen.

Sinon, t'as une autre preuve là :
http://letaupinserieux.perso.neuf.fr/Mathematique/recurrences.pdf (3)

on a pas encore étudié les In ca peut se simplifier encore

d'ailleurs est ce que a1 x a2 x ... x an =< [(a1 + a2 + ... + an)/n]^n équivaut (a1a2...an)^1/n=<(1/n)(a1+a2+...+an) :question

Oui d'ailleurs c'est plutôt comme ça qu'on l'écrit en général.

Dans la preuve du lien y'a pas de ln.

merci beaucoup

petite question en plus: comment démontrer la récurrence pour f(n) >= 2^(n-1) pour f(n) = 1x2x3x...x n

2 >= 2
3 >= 2
.
.
.
n >= 2

En faisant le produit des inégalités, 2*3*...*n >= 2^(n-1).

Si tu tiens à faire une récurrence :
n = 1 c'est bon.
Supposons l'inégalité vraie au rang n, n>=1
Alors f(n+1) = f(n)*(n+1) >= (n+1)*2^(n-1) (par hyp de récurrence) >= 2*2^(n-1) (car n+1 >=2) = 2^n.

chui con dans celle la d'ailleurs pour l'inégalité arithmético-géometrique comment faire pour la démontrer en débutant par mon inégalité ( le prof est assez stricte autour des méthodes )